Question

【題目】設(shè)，為正整數(shù)，一個(gè)正整數(shù)數(shù)列滿足.對(duì)，定義集合.數(shù)列中的是集合中元素的個(gè)數(shù).

（1）若數(shù)列為5，3，3，2，1，1，寫出數(shù)列；

（2）若，，為公比為的等比數(shù)列，求；

（3）對(duì)，定義集合，令是集合中元素?cái)?shù)的個(gè)數(shù).求證：對(duì)，均有.

Answer 1

【答案】（1）數(shù)列為；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意得出求出，即可得出數(shù)列；

（2）根據(jù)題意得出,從而寫出數(shù)列,假設(shè)數(shù)列中有個(gè)，個(gè),…,個(gè),個(gè),結(jié)合題設(shè)條件證明,利用等比數(shù)列的求和公式即可得出；

（3）利用（2）中結(jié)論得出，接下來證明對(duì)，即可得出.

（1）

數(shù)列為

（2）由題意知，則

因?yàn)閿?shù)列為公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列為

假設(shè)數(shù)列中有個(gè)，個(gè),…,個(gè),個(gè)

所以

由題意可知

…

…

所以

所以

（3）對(duì),表示數(shù)列中大于等于的個(gè)數(shù)，即

由(2)知

…

并且

所以

設(shè)，則，即，從而

故

從而，故，而，故有

設(shè)，即，根據(jù)集合的定義，有

由知，，由的定義可得

而由，故

由此，對(duì)，均有.