Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g(x)=

1

2

x2+a（a為常數(shù)），若直線l與y=f（x），y=g（x）的圖象都相切，且l與y=f（x）圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1
（Ⅰ）求直線l的方程及a的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g'（x），求y=h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)k≥

1

2

時(shí)，討論關(guān)于x的方程f（x²+1）-g（x）=k的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)l與y=f（x）圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)函數(shù)在切點(diǎn)處的切線斜率是該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，求出切線斜率，利用點(diǎn)斜式寫出切線方程．根據(jù)直線l與y=g（x）的圖象也相切，聯(lián)立方程，方程組有一解，就可求出a的值．
（Ⅱ）化簡h（x）=f（x+1）-g'（x），求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于0，解得x的范圍為函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，解得x的范圍為函數(shù)的減區(qū)間．
（Ⅲ）把方程f（x²+1）-g（x）=k左邊看做一個(gè)函數(shù)，右邊看做一個(gè)常函數(shù)，要求方程f（x²+1）-g（x）=k的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)，只需看兩個(gè)函數(shù)圖象有幾個(gè)交點(diǎn)即可．利用導(dǎo)數(shù)求出左邊函數(shù)的極大值與極小值，再按k討論兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)即可．

解答：解（I）f′(x)|x=1=

1

x

|x=1=1，
∴k₁=1，切點(diǎn)為（1，f（1））=（1，0）
∴l(xiāng)的方程為y=x-1
∵l與g（x）相切，
∴由

y=x-1 y= 1 2 x2+a

得

1

2

x2+a=x-1，
又△=0，∴a=-

1

2

…（4分）
（Ⅱ）h(x)=ln(x+1)-(

1

2

x2-

1

2

)′=ln(x+1)-x(x＞-1)
∴h′(x)=

1

x+1

-1
令h'（x）＞0，∴

1

x+1

＞1，∴-1＜x＜0
∴增區(qū)間為（-1，0]
（Ⅲ）令y1=f(x2+1)-g(x)=ln(x2+1)-

1

2

x2+

1

2

，y₂=k
∵y′1=

2x

1+x2

-x=

-x(x-1)(x+1)

1+x2

∴y_1極大=ln2（當(dāng)x=±1時(shí)取得）∴y1極小=

1

2

（當(dāng)x=0時(shí)取得） 
∴k∈（ln2，+∞）時(shí)，無解；k=ln2時(shí)，有兩解；k=

1

2

時(shí)，有三解；

1

2

＜k＜ln2時(shí)，有四解

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線的斜率，函數(shù)的極值的應(yīng)用．