Question

（本小題滿(mǎn)分12分）已知橢圓的離心率為，在橢圓C上，A，B為橢圓C的左、右頂點(diǎn)．

(1)求橢圓C的方程：

(2)若P是橢圓上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，PB并延長(zhǎng)，分別與右準(zhǔn)線相交于M₁，M2.問(wèn)是否存在x軸上定點(diǎn)D，使得以M₁M₂為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)D?若存在，求點(diǎn)D的坐標(biāo)：若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）存在或，使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)殡x心率為，在橢圓上.所以利用待定系數(shù)法求出長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)和短半軸的長(zhǎng).從而寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.本小題要求解方程組能力較強(qiáng).雖然本小題屬于較基礎(chǔ)的題目，但是運(yùn)算也是這道題難點(diǎn)，否則會(huì)影響到下一題的得分.

（2）通過(guò)假設(shè)的坐標(biāo)，寫(xiě)出直線.并求出它們與準(zhǔn)線方程的交點(diǎn)坐標(biāo).如果存在則點(diǎn)是在以線段為直徑的圓上，所以通過(guò)向量的垂直可得一個(gè)關(guān)于的等式.又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014041204041748555111/SYS201404120405024698313456_DA.files/image014.png">符合橢圓的方程.所以可以求出結(jié)論.

試題解析：（1）由得：，，        1分

從而有：

又在橢圓上，故有，解得

所以，橢圓的方程為：.        4分

（2）設(shè)，由（1）知：.

則直線的方程為：，由得所以；

同理得：. 6分

假設(shè)存在點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，即：.

又在橢圓上，∴∴ .         10分

代入上式得，解得或7.

所以，存在或，使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn).         12分

考點(diǎn)：1.待定系數(shù)求橢圓的方程.2.向量的數(shù)量積.3.知識(shí)的轉(zhuǎn)化化歸思想.