Question

在直角坐標系xOy中，已知中心在原點，離心率為的橢圓E的一個焦點為圓C：x²+y²-4x+2=0的圓心．
（Ⅰ）求橢圓E的方程
（Ⅱ）設P是橢圓E上一點，過P作兩條斜率之積為的直線l₁，l₂．當直線l₁，l₂都與圓C相切時，求P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）確定x²+y²-4x+2=0的圓心C（2，0），設橢圓E的方程為：，其焦距為2c，則c=2，利用離心率為，即可求得橢圓E的方程；
（Ⅱ）設P（x，y），l₁，l₂的斜率分別為k₁，k₂，則k₁k₂=，由l₁與圓C：x²+y²-4x+2=0相切，可得，同理可得，從而k₁，k₂是方程的兩個實根，進而，利用，即可求得點P的坐標．
解答：解：（Ⅰ）由x²+y²-4x+2=0得（x-2）²+y²=2，∴圓心C（2，0）
設橢圓E的方程為：，其焦距為2c，則c=2，
∵，∴a=4，
∴b²=a²-c²=12
∴橢圓E的方程為：
（Ⅱ）設P（x，y），l₁，l₂的斜率分別為k₁，k₂，則l₁：y-y=k₁（x-x）
l₂：y-y=k₂（x-x），且k₁k₂=
由l₁與圓C：x²+y²-4x+2=0相切得
∴
同理可得
從而k₁，k₂是方程的兩個實根
所以①，且
∵，
∴，
∴x=-2或
由x=-2得y=±3；由得滿足①
故點P的坐標為（-2，3）或（-2，-3），或（）或（）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與圓相切，解題的關鍵是確定k₁，k₂是方程的兩個實根，屬于中檔題．