已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2+4x．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知a為實(shí)數(shù)，且f（a2-a）＜f（4a-4），求函數(shù)g（x）=
x
（x-a）在區(qū)間[0，2]上的最小值．
分析：（1）利用奇函數(shù)的定義即可求得當(dāng)x＜0時(shí)的解析式．
（2）據(jù)函數(shù)f（x）的解析式，先證明函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，即可求出a的取值范圍．再對函數(shù)g（x）求導(dǎo)并求出極值，進(jìn)而可求得最小值．
解答：解1）設(shè)x＜0，則-x＞0，由已知可得：f（-x）=（-x）2-4x．
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（x）=-f（-x）=-（x2-4x）=-x2+4x．
所以函數(shù)的解析式為：f(x)=
x2+4x，當(dāng)x≥0時(shí)
-x2+4x，當(dāng)x＜0時(shí)
．
（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=（x+2）2-4，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增；
同理可得：當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞增．由函數(shù)f（x）在x=0時(shí)連續(xù)，
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．
∵實(shí)數(shù)a滿足f（a2-a）＜f（4a-4），
∴a2-a＜4a-4，解得1＜a＜4．
令
x
=t，∵x∈[0，2]，∴t∈[0，
2
]．
∴y=t（t2-a），∴y′=3t2-a．
令y′=0，則t=
a
3
，
又∵1＜a＜4，∴
1
3
＜
a
3
＜
4
3
，∴t=
a
3
∈[0，
2
]．
當(dāng)t∈[0，
a
3
)時(shí)，y′＜0；當(dāng)t∈(
a
3
，
2
]時(shí)，y′＞0．
∴函數(shù)y=t3-at在區(qū)間[0，
a
3
]上單調(diào)遞減；在區(qū)間[
a
3
，
2
]上單調(diào)遞增．
∴函數(shù)y=t3-at在t=
a
3
，即x=
a
3
時(shí)取得最小值為-
2a
3a
9
．
點(diǎn)評：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及最值，充分理解以上性質(zhì)和掌握利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法是解決問題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
2x+2-x
2
，g（x）=
2x-2-x
2
，
（1）計(jì)算：[f（1）]2-[g（1）]2；
（2）證明：[f（x）]2-[g（x）]2是定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=x+
a
x
的定義域?yàn)椋?，+∞），且f（2）=2+
2
2
．設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作直線y=x和y軸的垂線，垂足分別為M、N．
（1）求a的值．
（2）問：|PM|•|PN|是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由．
（3）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求四邊形OMPN面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象上的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)為
1
2
的點(diǎn)P滿足2
OP
=
OM
+
ON
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求證：y1+y2為定值；
（Ⅱ）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*，且n≥2，求Sn；
（Ⅲ）已知an=
1
6
，                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Tn＜m（Sn+1+1）對一切n∈N*都成立，試求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log3
3
x
1-x
，M（x1，y1），N（x2，y2）是f（x）圖象上的兩點(diǎn)，且x1+x2=1．
（1）求證：y1+y2為定值；
（2）若Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
）（n∈N*，N≥2），求Sn；
（3）在（2）的條件下，若an=
1
6
 ，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
（n∈N*），Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．求Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（2x-
π
6
），g（x）=sin（2x+
π
3
），直線y=m與兩個(gè)相鄰函數(shù)的交點(diǎn)為A，B，若m變化時(shí)，AB的長度是一個(gè)定值，則AB的值是（　�。�

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