已知函數(shù),(其中為常數(shù));
(Ⅰ)如果函數(shù)和有相同的極值點(diǎn),求的值;
(Ⅱ)設(shè),問是否存在,使得,若存在,請求出實(shí)數(shù)的取值范圍;若不存在,請說明理由.
(Ⅲ)記函數(shù),若函數(shù)有5個不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(Ⅰ)或(Ⅱ)(Ⅲ)
解析試題分析:(1)對函數(shù)f(x)求導(dǎo)可得,由,可得得或,而在處有極大值,從而可得a;(2)假設(shè)存在,即存在x∈(?1,),使得f(x)-g(x)>0,由x∈(?1,),及a>0,可得x-a<0,則存在x∈(?1,),使得,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解;(3)據(jù)題意有f(x)-1=0有3個不同的實(shí)根,g(x)-1=0有2個不同的實(shí)根,且這5個實(shí)根兩兩不相等.g(x)-1=0有2個不同的實(shí)根,只需滿足⇒a>1或a<?3;有3個不同的實(shí)根,從而結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解.
試題解析:(Ⅰ),則,
令,得或,而在處有極大值,∴,或;綜上:或. (3分)
(Ⅱ)假設(shè)存在,即存在,使得
,
當(dāng)時,又,故,則存在,使得, (4分)
當(dāng)即時,得,; (5分)
當(dāng)即時,得, (6分)
無解;綜上:. (7分)
(Ⅲ)據(jù)題意有有3個不同的實(shí)根,有2個不同的實(shí)根,且這5個實(shí)根兩兩不相等.
(。有2個不同的實(shí)根,只需滿足; (8分)
(ⅱ)有3個不同的實(shí)根,
當(dāng)即時,在處取得極大值,而,不符合題意,舍; (9分)
當(dāng)即時,不符合題意,舍;
當(dāng)即時,在處取得極大值,;所以; (10分)
因?yàn)椋á。áⅲ┮瑫r滿足,故;(注:也對)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=xln x,g(x)=x3+ax2-x+2.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)對一切x∈(0,+∞),2f(x)≤g′(x)+2恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),且是函數(shù)的一個極小值點(diǎn).
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)求在區(qū)間上的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知a,b為常數(shù),a¹0,函數(shù).
(1)若a=2,b=1,求在(0,+∞)內(nèi)的極值;
(2)①若a>0,b>0,求證:在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù);
②若,,且在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),求由所有點(diǎn)形成的平面區(qū)域的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),其中是自然對數(shù)的底數(shù),.
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時,求函數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng)時,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),
(Ⅰ)當(dāng)a=4時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最小值;
(Ⅲ)若存在,使方程成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍(其中e=2.71828是自然對數(shù)的底數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù),曲線通過點(diǎn)(0,2a+3),且在處的切線垂直于y軸.
(I)用a分別表示b和c;
(II)當(dāng)bc取得最大值時,寫出的解析式;
(III)在(II)的條件下,g(x)滿足,求g(x)的最大值及相應(yīng)x值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)
(Ⅰ)時,求在處的切線方程;
(Ⅱ)若對任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)當(dāng)時,設(shè)函數(shù),若,求證:.
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