分別以雙曲線G:
x2
16
-
y2
9
=1
的焦點為頂點,以雙曲線G的頂點為焦點作橢圓C.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)點P的坐標(biāo)為(0,3),在y軸上是否存在定點M,過點M且斜率為k的動直線l 交橢圓于A、B兩點,使以AB為直徑的圓恒過點P,若存在,求出M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
分析:(Ⅰ)確定雙曲線G:
x2
16
-
y2
9
=1
的焦點為(±5,0),頂點為(±4,0),從而可得橢圓的頂點與焦點,進(jìn)而可求橢圓方程;
(Ⅱ)假設(shè)存在M(0,a),過點M且斜率為k的動直線l交橢圓于A、B兩點,使以AB為直徑的圓恒過點P,AB方程為y=kx+a,代入方程C:
x2
25
+
y2
9
=1
,消去y,得(9+25k2)x2+50akx+25a2-225=0,利用韋達(dá)定理結(jié)合
PA
PB
=0
,即可知M點的坐標(biāo)存在.
解答:解:(Ⅰ)雙曲線G:
x2
16
-
y2
9
=1
的焦點為(±5,0),頂點為(±4,0),
所以所求橢圓方程為C:
x2
25
+
y2
9
=1
…(5分)
(Ⅱ)假設(shè)存在M(0,a),過點M且斜率為k的動直線l交橢圓于A、B兩點,使以AB為直徑的圓恒過點P,
AB方程為y=kx+a,代入方程C:
x2
25
+
y2
9
=1
,
消去y,得(9+25k2)x2+50akx+25a2-225=0,…(7分)
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)則x1+x2=
-50ak
9+25k2
,x1x2=
25a2-225
9+25k2
…(9分)
PA
PB
=(x1,y1-3)•(x2y2-3)
=x1x2+y1y2-3(y1+y2)+9
=x1x2+(kx1+a)(kx2+a)-3k(x1+x2)-6a+9=(k2+1)x1x2+k(a-3)( x1+x2)+a2-6a+9
=(k2+1)
25a2-225
9+25k2
+k(a-3)
-50ak
9+25k2
+a2-6a+9
由以AB為直徑的圓恒過點P,可得
PA
PB
=0
,得17a2-27a-72=0,
∴(17a+24)(a-3)=0…(12分)
∴a=3,或a=-
24
17

∵點P的坐標(biāo)為(0,3),過點M且斜率為k的動直線l 交橢圓于A、B兩點
∴a=-
24
17

故M點的坐標(biāo)存在,M的坐標(biāo)為(0,-
24
17
)…(13分)
點評:本題考查雙曲線、橢圓的幾何性質(zhì),考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查恒成立問題的處理,解題要細(xì)心.
練習(xí)冊系列答案
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已知以原點O為中心,F(
5
,0)
為右焦點的雙曲線C的離心率e=
5
2

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程;
(2)如圖,已知過點M(x1,y1)的直線l1:x1x+4y1y=4與過點N(x2,y2)(其中x2≠x)的直線l2:x2x+4y2y=4的交點E在雙曲線C上,直線MN與兩條漸近線分別交與G、H兩點,求△OGH的面積.精英家教網(wǎng)精英家教網(wǎng)

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