解:(1)設(shè)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(a>0,b>0),
則由題意知
,
,
∴a=2,b=1,
∴C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
.
∴C的漸近線方程為
,即x-2y=0和x+2y=0.
(2)由題意知,點(diǎn)E(x
E,y
E)在直線l
1:x
1x+4y
1y=4和l
2:x
2x+4y
2y=4上,
因此有x
Ex+4y
Ey=4上,因此直線MN的方程為x
Ex+4y
Ey=4.
設(shè)G,H分別是直線MN與漸近線x-2y=0及x+2y=0的交點(diǎn),
由方程組
及
,解得
,
設(shè)MN與x軸的交戰(zhàn)為Q,則在直線x
Ex+4y
Ey=4k,令y=0得
,
∵x
E2-4y
E2=4,
∴
=
=
.
分析:(1)設(shè)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(a>0,b>0),由題意知a=2,b=1,由此可求出C的標(biāo)準(zhǔn)方程和漸近線方程.
(2)由題意知,點(diǎn)E(x
E,y
E)在直線l
1:x
1x+4y
1y=4和l
2:x
2x+4y
2y=4上,因此直線MN的方程為x
Ex+4y
Ey=4.設(shè)G,H分別是直線MN與漸近線x-2y=0及x+2y=0的交點(diǎn),則
,設(shè)MN與x軸的交戰(zhàn)為Q,則
,由此可求△OGH的面積.
點(diǎn)評:本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用,難度較大,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意挖掘隱含條件,仔細(xì)解答.