Question

已知橢圓C：的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)M（-2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)斜率為1的直線l與橢圓C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，連接MA，MB并延長交直線x=4于P，Q兩點(diǎn)，設(shè)y_P，y_Q分別為點(diǎn)P，Q的縱坐標(biāo)，且．求△ABM的面積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用橢圓C：的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)M（-2，0），可求橢圓的幾何量，從而可求橢圓方程；
（Ⅱ）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用 ，及韋達(dá)定理，即可求解△ABM的面積．
解答：解：（Ⅰ）∵橢圓C：的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)M（-2，0）．
∴a=2，，∴．                        …（2分）
∵a²=b²+c²，∴．                            …（3分）
橢圓方程為．                                      …（5分）
（Ⅱ）因?yàn)橹本�l的斜率為1，可設(shè)l：y=x+m，…（6分）
則，消y得3x²+4mx+2m²-4=0，…（7分）
由△＞0，得m²＜6．
因?yàn)锳（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以，．                        …（8分）
設(shè)直線MA：，則；同理．…（9分）
因?yàn)?nbsp;，所以 ，即．     …（10分）
所以 （x₁-4）y₂+（x₂-4）y₁=0，
所以 （x₁-4）（x₂+m）+（x₂-4）（x₁+m）=0，
所以2x₁x₂+m（x₁+x₂）-4（x₁+x₂）-8m=0，
所以，
所以 ，所以 ．              …（12分）
所以 ，．
設(shè)△ABM的面積為S，直線l與x軸交點(diǎn)記為N，
所以．…（13分）
所以△ABM的面積為．…（14分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．