Question

已知x₁，x₂是函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a，b∈R，a＞0）的兩個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)f（x）的最小值為-a，記P={x|f（x）＜0，x∈R}
（�。┰囂角髕₁，x₂之間的等量關(guān)系（不含a，b）；
（ⅱ）當(dāng)且僅當(dāng)a在什么范圍內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）+2x（x∈P）存在最小值？
（ⅲ）若x₁∈（-2，2），試確定b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意可得即b²-4ac=4a²，所以
所以|x₁-x₂|=2…5'
（2）由f（x）＜0得，g（x）=ax²+（b+2）x+1，對(duì)稱(chēng)軸為
從而有，故有a＞1…8'
（3）∈（-2，2），從而有，…10'
所以或從而有，|b|＜6a，b²＜36a²，
因?yàn)閎²=4a+4a²，所以4a+4a²＜36a²，，b²=4a+4a²
所以b的取值范圍為…16'
分析：（1）由二次函數(shù)的最小值可得b²-4ac=4a²，由求根公式可得結(jié)論；
（2）由二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸結(jié)合圖象可知在對(duì)稱(chēng)軸處取到最小值；（3）由b²=4a+4a²，可得，從而得到b的范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題為二次函數(shù)問(wèn)題，數(shù)量運(yùn)用數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．