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(1)設l1、l2是兩條異面直線,其公垂線段上的單位向量為n,又C、D分別是l1、l2上任意一點,求證:||=|·n|;

(2)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,求體對角線BD1與面對角線B1C的距離.

解析:(1)∵n=,∴·n=(++.

由于CA⊥AB,BD⊥AB,∴·=0,·=0.

因此|·n|=|.

(2)如下圖所示,先找一個向量n,它既與BD1垂直,又與B1C垂直,設n=+μDD1,其中λ,μ為待定系數.由n·=()·(++)=···=-a2-λa2+μa2=-a2(1+λ-μ)=0,

  

∴1+λ-μ=0.又由n·=()·(+)=··=-a2-μa2=0,∴1+μ=0.

于是解得μ=-1,λ=-2,

∴n=-2-,|n|=

又BC是連結這兩條異面直線BD1與B1C上的任意點的線段,由第(1)題知所求距離為d=

.


練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知拋物線C1:y=x2,橢圓C2:x2+
y24
=1.
(1)設l1,l2是C1的任意兩條互相垂直的切線,并設l1∩l2=M,證明:點M的縱坐標為定值;
(2)在C1上是否存在點P,使得C1在點P處切線與C2相交于兩點A、B,且AB的中垂線恰為C1的切線?若存在,求出點P的坐標;若不存在,說明理由.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線C1:y=x2,橢圓C2:x2+
y2
4
=1.
(1)設l1,l2是C1的任意兩條互相垂直的切線,并設l1∩l2=M,證明:點M的縱坐標為定值;
(2)在C1上是否存在點P,使得C1在點P處切線與C2相交于兩點A、B,且AB的中垂線恰為C1的切線?若存在,求出點P的坐標;若不存在,說明理由.

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科目:高中數學 來源:2011年浙江省臺州中學高三第四次統(tǒng)練數學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知拋物線C1:y=x2,橢圓C2:x2+=1.
(1)設l1,l2是C1的任意兩條互相垂直的切線,并設l1∩l2=M,證明:點M的縱坐標為定值;
(2)在C1上是否存在點P,使得C1在點P處切線與C2相交于兩點A、B,且AB的中垂線恰為C1的切線?若存在,求出點P的坐標;若不存在,說明理由.

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科目:高中數學 來源:2010年浙江省金華市十校高考數學模擬試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知拋物線C1:y=x2,橢圓C2:x2+=1.
(1)設l1,l2是C1的任意兩條互相垂直的切線,并設l1∩l2=M,證明:點M的縱坐標為定值;
(2)在C1上是否存在點P,使得C1在點P處切線與C2相交于兩點A、B,且AB的中垂線恰為C1的切線?若存在,求出點P的坐標;若不存在,說明理由.

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