Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-m（x-

1

x

）（m為實(shí)常數(shù)）
（1）當(dāng)m=

2

5

時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值；
（2）若函數(shù)f（x）無極值點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)m=

2

5

時(shí)，f（x）=lnx-

2

5

（x-

1

x

），求導(dǎo)數(shù)f′（x），利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性即可求得其最大值；
（2）求出函數(shù)的定義域（0，+∞），導(dǎo)數(shù)f′（x）=

-mx2+x-m

x2

，f（x）無極值點(diǎn)，則f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)，即f′（x）≥0，或f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，分情況討論，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值即可解決；

解答：解：（1）當(dāng)m=

2

5

時(shí)，f（x）=lnx-

2

5

（x-

1

x

），
令f′（x）=

1

x

-

2

5

（1+

1

x2

）=-

(2x-1)(x-2)

5x2

=0，得x=2或x=

1

2

（舍去），
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（2，e）時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（1，2）上遞增，在（2，e）上遞減，
∴當(dāng)x=2時(shí)，f（x）_max=f（2）=ln2-

3

5

；
（2）f（x）定義域（0，+∞），
f′（x）=

1

x

-m （1+

1

x2

）=

-mx2+x-m

x2

，
由題意，f（x）無極值點(diǎn)，則f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)，分如下情況討論：
①若f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，則-mx²+x-m≥0，即m≤

x

1+x2

在（0，+∞）上恒成立，
當(dāng)x＞0時(shí)，

x

1+x2

=

1

1 x +x

∈（0，

1

2

]，∴m≤0；
②若f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，則-m²+x-m≤0，即m≥

x

1+x2

在（0，+∞）上恒成立，
當(dāng)x＞0時(shí)，

x

1+x2

=

1

1 x +x

∈（0，

1

2

]，∴m≥

1

2

；
綜①②，函數(shù)f（x）無極值點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍是（-∞，0]∪[

1

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查基本不等式求最值，考查分類討論思想，考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力．