已知C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)橢圓具有性質(zhì)：若M，N是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時(shí)，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值，試寫出雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1具有類似特性的性質(zhì)并加以證明．
分析：設(shè)出M和N的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出PM，PN的斜率，求得兩斜率之積．把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入雙曲線方程表示出y和n，代入PM，PN斜率之積得表達(dá)式求得結(jié)果為常數(shù)，故可推斷出kPM•kPN與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值．
解答：解：可以通過(guò)橫向類比得：若M，N是上述雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的兩點(diǎn)，
點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時(shí)，
那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值．
下面給出嚴(yán)格的證明：
設(shè)點(diǎn)M（m，n），則N（-m，-n），其中
m2
a2
-
n2
b2
=1，又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)
為P（x，y），則kPM=
y-n
x-m
，kPN=
y+n
x+m
，kPM•kPN=
y2-n2
x2-m2
，
注意到
m2
a2
-
n2
b2
=1，點(diǎn)P（x，y）在雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1上，
故y2=b2(
x2
a2
-1)，n2=b2(
m2
a2
-1)，
代入kPM•kPN=
y2-n2
x2-m2
可得：kPM•kPN=
b2
a2
(x2-m2)
x2-m2
=
b2
a2
（常數(shù)），
即kPM•kPN與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知半橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(x≥0)與半橢圓
y2
b2
+
x2
c2
=1(x≤0)組成的曲線稱為“果圓”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0．如圖，設(shè)點(diǎn)F0，F(xiàn)1，F(xiàn)2是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，A1，A2和B1，B2是“果圓”與x，y軸的交點(diǎn)，
（1）若三角形F0F1F2是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；
（2）若|A1A|＞|B1B|，求
b
a
的取值范圍；
（3）一條直線與果圓交于兩點(diǎn)，兩點(diǎn)的連線段稱為果圓的弦．是否存在實(shí)數(shù)k，使得斜率為k的直線交果圓于兩點(diǎn)，得到的弦的中點(diǎn)的軌跡方程落在某個(gè)橢圓上？若存在，求出所有k的值；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線l：y=x+1與曲線C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)交于不同的兩點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）若|OA|=|OB|，求證：曲線C是一個(gè)圓；
（Ⅱ）若OA⊥OB，當(dāng)a＞b且a∈[
6
2
，
10
2
]時(shí)，求曲線C的離心率e的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線L：y=x+1與曲線C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞1，b＞0)交于不同的兩點(diǎn)A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若|OA|=|OB|，試探究在曲線C上僅存在幾個(gè)點(diǎn)到直線L的距離恰為a-
2
2
？并說(shuō)明理由；
（2）若OA⊥OB，且a＞b，a∈[
6
2
，
10
2
]，試求曲線C的離心率e的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•臨沂三模）已知直線l：y=x+
6
，圓O：x2+y2=5，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
3
3
，直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)與橢圓的短軸長(zhǎng)相等．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）若
AF
=2
FB
求直線l的方程；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P滿足
OP
=
OA
+
OB
，問(wèn)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡能否與橢圓C存在公共點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2007•武漢模擬）已知直線l：y=2x-
3
與橢圓C：
x2
a2
+y2=1 （a＞1）交于P、Q兩點(diǎn)，以PQ為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A．
（1）設(shè)PQ中點(diǎn)M（x0，y0），求證：x0＜
3
2
（2）求橢圓C的方程．

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同步練習(xí)冊(cè)答案