Question

已知直線l：y=x+1與曲線C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)交于不同的兩點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）若|OA|=|OB|，求證：曲線C是一個(gè)圓；
（Ⅱ）若OA⊥OB，當(dāng)a＞b且a∈[

6

2

，

10

2

]時(shí)，求曲線C的離心率e的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)直線L與曲線C的交點(diǎn)利用兩點(diǎn)間的距離公式和題設(shè)等式求得x₁²-x₂²=y₂²-y₁²，把A，B代入橢圓的方程兩式相減求得x1 2-x2 2=

a2

b2

(y2 2-y1 2)整理求得a和b的關(guān)系，判斷出曲線的圖象是圓．
（Ⅱ）設(shè)直線L與曲線C的交點(diǎn)根據(jù)a＞b判斷出曲線C為橢圓，根據(jù)OA⊥OB判斷出兩直線的斜率之積為-1，求得y₁y₂=-x₁x₂，將y=x+1代入橢圓的方程，利用韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達(dá)式，進(jìn)而利用直線方程求得y₁y₂的表達(dá)式，進(jìn)而建立等式求得關(guān)于a和c的方程，求得a和c的關(guān)系式，進(jìn)而表示出橢圓的離心率，利用a的范圍確定離心率的范圍．

解答：（Ⅰ）證明：設(shè)直線L與曲線C的交點(diǎn)為A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
∵|OA|=|OB|
∴

x12+y12

=

x22+y22

即：x₁²+y₁²=x₂²+y₂²
∴x₁²-x₂²=y₂²-y₁²
∵A，B在C上
∴

x1 2

a2

+

y1 2

b2

=1，

x2 2

a2

+

y2 2

b2

=1
∴兩式相減得：x1 2-x2 2=

a2

b2

(y2 2-y1 2)
∴

a2

b2

=1即：a²=b²
∴曲線C是一個(gè)圓
（Ⅱ）設(shè)直線L與曲線C的交點(diǎn)為A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
∵a＞b＞o
∴曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓
∵OA⊥OB
∴

y1

x1

•

y2

x2

=-1即：y₁y₂=-x₁x₂
將y=x+1代入b²x²+a²y²-a²b²=0整理得：
（b²+a²）x²+2a²+a²-a²b²=0
∴x1+x2=-

2a2

b2+a2

x1x2=

a2(1-b2 )

b2+a2

，
∵A，B在L上∴y₁y₂=（x₁+1）（x₂+1）=x₁•x₂+x₂+x₁+1
又∵y₁y₂=-x₁x₂
∴2x₁x₂+x₂+x₁+1=0
∴2•

(1-b2)a2

b2+a2

+(-

2a2

b2+a2

)+1=0
∴b²+a²-2b²a²=0
∴a²+a²-c²-2a²（a²-c²）=0
∴2a⁴-2a²+c²-2c²a²=0
∴c2 =

2a2(a2-1)

2a2-1

∴e2=

c2

a2

=

2(a2-1)

2a2-1

=1-

1

2a2-1

∵a∈[

6

2

，

10

2

]
∴2a²-1∈[2，4]
∴1-

1

2a2-1

∈[

1

2

，

3

4

]e∈[

2

2

，

3

2

]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，橢圓的基本性質(zhì)．要求考生能對(duì)橢圓中a，b和c的關(guān)系能熟練理解和應(yīng)用．