Question

在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱DD₁⊥平面ABCD，且AD=AA₁=1，AB=2．
（Ⅰ）求證：平面BCD₁⊥平面DCC₁D₁；
（Ⅱ）求異面直線CD₁與A₁D所成角的余弦值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由線面垂直得DD₁⊥BC，由矩形性質(zhì)得DC⊥BC．由此能證明BC⊥平面DCC₁D₁，從而得到平面BCD₁⊥平面DCC₁D₁．
（Ⅱ）取DA，DC，DD₁所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系D-xyz，由cos＜

CD1

，

DA1

＞=

CD1 • DA1

| CD1 |•| DA1 |

，利用向量法能求出異面直線CD₁與A₁D所成角的余弦值．

解答： （本題滿分10分）
（Ⅰ）證明：在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面ABCD，
∴DD₁⊥BC．…（2分）
∵底面ABCD是矩形，所以DC⊥BC．
又DD₁∩DC=D，∴BC⊥平面DCC₁D₁．
又BC?面BCD₁，∴平面BCD₁⊥平面DCC₁D₁．…（5分）
（Ⅱ）解：取DA，DC，DD₁所在的直線為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系D-xyz，如圖所示，
∵AD=AA₁=1，AB=2，則D（0，0，0），C（0，2，0），D₁（0，0，1），A₁（1，0，1），…（7分）
∵

CD1

=（0，-2，1），

DA1

=（1，0，1），
∴cos＜

CD1

，

DA1

＞=

CD1 • DA1

| CD1 |•| DA1 |

=

1

5 • 2

=

10

10

．…（9分）
∴異面直線CD₁與A₁D所成角的余弦值是

10

10

．…（10分）

點評：本題考查面面垂直的證明，考查異面直線所成角的求法，是中檔題題，解題時要注意線線、線面、面面間的位置關(guān)系和性質(zhì)的合理運用，注意空間思維能力的培養(yǎng)．