Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，且a₂+a₄=2a₃+4，其中n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=

nan

(2n+1)•2n

，是否存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得b₁，b_m，b_n成等比數(shù)列？若存在，求出所有的m、n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）令c_n=

(n+1)2+1

n(n+1)an+2

，記數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n（n∈N^*），證明：

5

16

≤S_n＜

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列．由此能求出an=2n，n∈N^*．
（2）bn=

nan

(2n+1)•2n

=

n

2n+1

，若b₁，b_m，b_n成等比數(shù)列，則

m2

4m2+4m+1

=

n

6n+3

．由此能求出當(dāng)且僅當(dāng)m=2，n=12．使得b₁，b_m，b_n成等比數(shù)列．
（3）cn=

(n+1)2+1

n(n+1)•2n+2

=

1

2

[

1

2n+1

+

1

n•2n

-

1

(n+1)•2n+1

]，由此利用裂項(xiàng)求和法能證明

5

16

≤Sn＜

1

2

．

解答： （1）解：∵a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，∴（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，
又a_n＞0，∴2a_n-a_n+1=0，即2a_n=a_n+1，
∴數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列．
由a₂+a₄=2a₃+4，得2a₁+8a₁=8a₁+4，解得a₁=2．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=2n，n∈N^*．
（2）解：bn=

nan

(2n+1)•2n

=

n

2n+1

，若b₁，b_m，b_n成等比數(shù)列，則（

m

2m+1

）²=

1

3

(

n

2n+1

)，
即

m2

4m2+4m+1

=

n

6n+3

．
由

m2

4m2+4m+1

=

n

6n+3

，得

3

n

=

-2m2+4m+1

m2

，
∴-2m²+4m+1＞0，解得：1-

6

2

＜m＜1+

6

2

．
又m∈N^*，且m＞1，∴m=2，此時(shí)n=12．
故當(dāng)且僅當(dāng)m=2，n=12．使得b₁，b_m，b_n成等比數(shù)列．
（3）證明：cn=

(n+1)2+1

n(n+1)•2n+2

=

1

2

•

n2+2n+2

n(n+1)•2n+1

=

1

2

[

n2+n

n(n+1)•2n+1

+

n+2

n(n+1)•2n+1

]

=

1

2

[

1

2n+1

+

1

n•2n

-

1

(n+1)•2n+1

]，
∴Sn=

1

2

(

1

22

+…+

1

2n+1

)+

1

2

[(

1

1•2

-

1

2•22

)+(

1

2•22

-

1

3•23

)+…+(

1

n•2n

-

1

(n+1)•2n+1

]
=

1

2

•

1 22 (1- 1 2n )

1- 1 2

+

1

2

[

1

2

-

1

(n+1)•2n+1

]
=

1

2

[1-(

1

2

)n+1•

n+2

n+1

]，
∵（

1

2

）ⁿ⁺¹•

n+2

n+1

遞減，
∴0＜（

1

2

）ⁿ⁺¹•

n+2

n+1

≤(

1

2

)1+1•

1+2

1+1

=

3

8

∴

5

16

≤

1

2

[1-(

1

2

)n+1•

n+2

n+1

]＜

1

2

，∴

5

16

≤Sn＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等比數(shù)列的成立的條件的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．