【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Tn= n2﹣ n,且an+2+3log4bn=0(n∈N*)
(1)求{bn}的通項公式;
(2)數(shù)列{cn}滿足cn=anbn , 求數(shù)列{cn}的前n項和Sn;
(3)若cn≤ m2+m﹣1對一切正整數(shù)n恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】
(1)解:由Tn= n2﹣ n,易得an=3n﹣2代入到an+2+3log4bn=0(n∈N*)根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)化簡bn= (n∈N*),
(2)解:cn=anbn= ,∴ ∴
兩式相減整理得
(3)解:cn=anbn=(3n﹣2) ∴cn+1﹣cn=(3n+1) ﹣(3n﹣2) =9(1﹣n) (n∈N*),
∴當(dāng)n=1時,c2=c1= ,
當(dāng)n≥2時,cn+1<cn,即c1=c2>c3>…>cn,
∴當(dāng)n=1時,cn取最大值是 ,又cn≤ m2+m﹣1對一切正整數(shù)n恒成立∴ m2+m﹣1≥ ,即m2+4m﹣5≥0,
解得:m≥1或m≤﹣5.
【解析】(1)由Tn= n2﹣ n,先求數(shù)列{an}的通項公式;代入到an+2+3log4bn=0(n∈N*)根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)化簡即可求出{bn}的通項公式;(2)把第一問求出的兩數(shù)列的通項公式代入cn=anbn中,確定出cn的通項公式,從而求數(shù)列{cn}的前n項和Sn;(3)表示出cn+1﹣cn , 判斷得到其差小于0,故數(shù)列{cn}為遞減數(shù)列,令n=1求出數(shù)列{cn}的最大值,然后原不等式的右邊大于等于求出的最大值,列出關(guān)于m的一元二次不等式,求出不等式的解集即為實數(shù)m的取值范圍.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項和的相關(guān)知識,掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一緝私艇發(fā)現(xiàn)在方位角45°方向,距離12海里的海面上有一走私船正以10海里/小時的速度沿方位角為105°方向逃竄,若緝私艇的速度為14海里/小時,緝私艇沿方位角45°+α的方向追去,若要在最短的時間內(nèi)追上該走私船,求追擊所需時間和α角的正弦.(注:方位角是指正北方向按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角,設(shè)緝私艇與走私船原來的位置分別為A、C,在B處兩船相遇).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱柱中, 底面,底面為菱形, 為與交點,已知,.
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)求證: ∥平面;
(Ⅲ)設(shè)點在內(nèi)(含邊界),且 ,說明滿足條件的點的軌跡,并求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,底面, ,、分別是棱、的中點.
(Ⅰ)求證:平面.
(Ⅱ)若線段上的點滿足平面平面,試確定點的位置,并說明理由.
(Ⅲ)證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|cosx|sinx,給出下列四個說法:
①f(x)為奇函數(shù); ②f(x)的一條對稱軸為x= ;
③f(x)的最小正周期為π; ④f(x)在區(qū)間[﹣ , ]上單調(diào)遞增;
⑤f(x)的圖象關(guān)于點(﹣ ,0)成中心對稱.
其中正確說法的序號是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對某地區(qū)兒童的身高與體重的一組數(shù)據(jù),我們用兩種模型①,②擬合,得到回歸方程分別為, ,作殘差分析,如表:
身高 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 |
體重 | 6 | 8 | 10 | 14 | 15 | 18 |
0.41 | 0.01 | 1.21 | -0.19 | 0.41 | ||
-0.36 | 0.07 | 0.12 | 1.69 | -0.34 | -1.12 |
(Ⅰ)求表中空格內(nèi)的值;
(Ⅱ)根據(jù)殘差比較模型①,②的擬合效果,決定選擇哪個模型;
(Ⅲ)殘差大于的樣本點被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù),應(yīng)剔除,剔除后對(Ⅱ)所選擇的模型重新建立回歸方程.
(結(jié)果保留到小數(shù)點后兩位)
附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點,⊙.
(Ⅰ)當(dāng)直線過點且與圓心的距離為時,求直線的方程.
(Ⅱ)設(shè)過點的直線與⊙交于, 兩點,且,求以線段為直徑的圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若存在唯一整數(shù),使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
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