Question

已知中心在原點的橢圓C的右焦點為（

3

，0），右頂點為（2，0），
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+

2

與橢圓C恒有兩個不同的交點A和B，且

OA

•

OB

＞2（其中O為原點），求k的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：向量與圓錐曲線

分析：（Ⅰ）直接由題意得到a，c的值，利用隱含條件求得b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）聯(lián)立直線和橢圓方程，化為關于x的一元二次方程后利用根與系數(shù)關系得到A，B兩點橫坐標的和與積，結合

OA

•

OB

＞2求得k的范圍，再由判別式大于0求得k的范圍，取交集后得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得：a=2，c=

3

，
∴b=

a2-c2

=

4-3

=1，
∴所求的橢圓方程為：

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2 4 +y2=1 y=kx+ 2

 得：(

1

4

+k2)x2+2

2

kx+1=0．
∴x1+x2=

-2 2 k

1 4 +k2

，x1x2=

1

1 4 +k2

（*）
△=(2

2

k)2-4•(

1

4

+k2)＞0，解得：k＞

1

2

或k＜-

1

2

．
由

OA

•

OB

＞2，可得：x₁x₂+y₁y₂＞2，即x1x2+(kx1+

2

)(kx2+

2

)＞2．
整理得：(1+k2)x1x2+

2

k(x1+x2)＞0．
把（*）代入得：(1+k2)•

1

1 4 +k2

+

2

k•

(-2 2 k)

1 4 +k2

＞0，即：

4-12k2

1+4k2

＞0．
解得：-

3

3

＜k＜

3

3

．
綜上：k的取值范圍是-

3

3

＜k＜-

1

2

或

1

2

＜k＜

3

3

．

點評：本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關系，涉及直線與圓錐曲線關系問題常采用聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，化為關于x的一元二次方程后利用根與系數(shù)的關系求解，特點是計算量較大，要求考生具有較強的運算能力，是壓軸題．