Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=5，D，E分別為BC，BB₁的中點，四邊形B₁BCC₁是邊長為6的正方形．
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）求證：CE⊥平面AC₁D；
（Ⅲ）求二面角C-AC₁-D的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接A₁C，與AC₁交于O點，連接OD，由三角形中位線定理可得OD∥A₁B，進而由線面平行的判定定理得到A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）由直棱柱的特征可得BB₁⊥AD，由三角形三線合一可得AD⊥BC，結合線面垂直的判定定理可得AD⊥平面B₁BCC₁．進而AD⊥CE，由側面B₁BCC₁為正方形，D，E分別為BC，BB₁的中點，利用三角形全等可證得C₁D⊥CE，最后再由線面垂直的判定定理證得CE⊥平面AC₁D；
（Ⅲ）以B₁C₁的中點G為原點，建立如圖空間直角坐標系，分別求出平面AC₁D的一個法向量和平面ACC₁的一個法向量，代入向量夾角公式，可得答案．
解答：證明：（Ⅰ）連接A₁C，與AC₁交于O點，連接OD．
因為O，D分別為AC₁和BC的中點，
所以OD∥A₁B．
又OD?平面AC₁D，A₁B?平面AC₁D，
所以A₁B∥平面AC₁D．（4分）
證明：（Ⅱ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，又AD?平面ABC，
所以BB₁⊥AD．
因為AB=AC，D為BC中點，
所以AD⊥BC．又BC∩BB₁=B，
所以AD⊥平面B₁BCC₁．
又CE?平面B₁BCC₁，
所以AD⊥CE．
因為四邊形B₁BCC₁為正方形，D，E分別為BC，BB₁的中點，
所以Rt△CBE≌Rt△C₁CD，∠CC₁D=∠BCE．
所以∠BCE+∠C₁DC=90°．
所以C₁D⊥CE．
又AD∩C₁D=D，
所以CE⊥平面AC₁D．                （9分）
解：（Ⅲ）如圖，以B₁C₁的中點G為原點，建立空間直角坐標系．
則A（0，6，4），E（3，3，0），C（-3，6，0），C₁（-3，0，0）．
由（Ⅱ）知CE⊥平面AC₁D，所以為平面AC₁D的一個法向量．
設n=（x，y，z）為平面ACC₁的一個法向量，，．
由可得
令x=1，則．
所以．
從而．
因為二面角C-AC₁-D為銳角，
所以二面角C-AC₁-D的余弦值為．（14分）
點評：本題是一個與二面角有關的立體幾何綜合題，以正三棱柱為載體，考查了線面平行的判定，線面垂直的判定，及二面角等考點，難度中檔．