Question

設(shè)函數(shù)y=

1

x

圖象上的點(diǎn)與x軸上的點(diǎn)順次構(gòu)成等腰直角三角形OB₁A₁，A₁B₂A₂，…，直角頂點(diǎn)在函數(shù)y=

1

x

的圖象上，設(shè)A_n的坐標(biāo)為（a_n，0），A₀為原點(diǎn)．
（1）求a₁，并求出a_n與a_n-1之間的關(guān)系式；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）bn=

2

an-1+an

(n≥2，n∈N*)，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（1）由題意，a1=

a1

2

+

2

a1

，可得a₁的值，求出B_n的坐標(biāo)，代入曲線方程，可得結(jié)論；
（2）確定數(shù)列{an2}是首項(xiàng)為4，公差為4的等差數(shù)列，可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）確定通項(xiàng)，利用累加法可求和．

解答：解：（1）由題意，a1=

a1

2

+

2

a1

，解得a₁=2．
過(guò)B_n點(diǎn)作B_nH⊥x軸，垂足為H，
∵△A_n-1B_nA_n為等腰直角三角形，且B_n為直角頂點(diǎn)，
∴|B_nH|=

1

2

|A_n-1A_n|=

an-an-1

2

，
∴B_n點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

an-an-1

2

，
∵△A_n-1B_nA_n為等腰直角三角形，且B_n為直角頂點(diǎn)，
∴H點(diǎn)為線段A_n-1A_n的中點(diǎn)，
∴H點(diǎn)橫坐標(biāo)為

an+an-1

2

，
∵B_nH⊥x軸，∴B_n點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為

an+an-1

2

，
∵B_n點(diǎn)為函數(shù)y=

1

x

（x＞0）圖象上的點(diǎn)，
∴

an+an-1

2

•

an-an-1

2

=1
∴an2-an-12=4．
（2）∵an2-an-12=4，a₁=2，
∴數(shù)列{an2}是首項(xiàng)為4，公差為4的等差數(shù)列，
∴an2=4n，
∴an=2

n

．
（3）∵b_n=

2

an-1+an

=

1

n-1 + n

=

n

-

n-1

，
∴S_n=（

1

-0）+（

2

-

1

）+…+（

n

-

n-1

）=

n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，考查函數(shù)與數(shù)列知識(shí)的綜合，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．