Question

P₁，P₂，…，P_n…順次為函數(shù)y=

1

x

 (x＞0)圖象上的點(diǎn)（如圖）Q₁，Q₂，…，Q_n…順次為x軸上的點(diǎn)，且△OP₁Q₁，△Q₁P₂Q₂，…，△Q_n-1P_nQ_n…均為等腰直角三角形（其中P_n為直角頂點(diǎn)），設(shè)Q_n的坐標(biāo)為（x_n，0）（n∈N₊），則數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式為

xn=2

n

．

Answer 1

分析：利用△Q_n-1P_nQ_n為等腰直角三角形，且P_n為直角頂點(diǎn)，求出P_n點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，再根據(jù)P_n點(diǎn)為函數(shù)y=

1

x

 (x＞0)圖象上的點(diǎn)，坐標(biāo)滿(mǎn)足函數(shù)y=

1

x

(x＞0)的解析式，就可得到含x_n-1，x_n的等式，即數(shù)列{x_n}的遞推公式，再根據(jù)遞推公式求出數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式即可．

解答：解：過(guò)P_n點(diǎn)作P_nH⊥x軸，垂足為H，
∵△Q_n-1P_nQ_n為等腰直角三角形，且P_n為直角頂點(diǎn)，
∴|PnH|=

1

2

|Qn-1Qn|=

xn-xn-1

2

，
∴P_n點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

xn-xn-1

2

∵△Q_n-1P_nQ_n為等腰直角三角形，且P_n為直角頂點(diǎn)，
∴H點(diǎn)為線段Q_n-1Q_n的中點(diǎn)，
∴H點(diǎn)橫坐標(biāo)為

xn+xn-1

2

∵P_nH⊥x軸，∴P_n點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為

xn+xn-1

2

，
∵P_n點(diǎn)為函數(shù)y=

1

x

 (x＞0)圖象上的點(diǎn)，
∴Pn(

xn+xn-1

2

，

2

xn+xn-1

)
∴

2

xn+xn-1

=

xn-xn-1

2

∴x_n²-x_n-1²=4∴x_n²=x₁²+4（n-1）=4n
∴xn=2

n

故答案為xn=2

n

點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)與數(shù)列的綜合，根據(jù)點(diǎn)在函數(shù)圖象上，以及點(diǎn)之間的關(guān)系，找到坐標(biāo)之間的關(guān)系，即數(shù)列的遞推公式，再由遞推公式求通項(xiàng)公式，屬于綜合題．