Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋2)－1(a＞0，且a≠1)，g(x)＝x－1.

(1)若函數(shù)y＝f(x)的圖象恒過定點A，求點A的坐標；

(2)若函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的圖象過點，試證明函數(shù)F(x)在x∈(1,2)上有唯一零點．

Answer 1

【答案】(1) 過點A(－1，－1),(2) 函數(shù)F(x)在(1,2)上有唯一零點

【解析】試題分析:(1)由對數(shù)函數(shù)恒過點(1,0)可得,令x+2=1,則,即圖象恒過A(－1，－1);(2)先求出函數(shù)F(x)的解析式,根據(jù)圖象恒過點，可求出a值,代回進而確定函數(shù)在(1,2)上是增函數(shù),根據(jù)零點存在性定理可判斷出零點唯一.

試題解析:(1)∵函數(shù)y＝logax的圖象恒過點(1,0)，

∴函數(shù)f(x)＝loga(x＋2)－1(a＞0，且a≠1)的圖象恒過點A(－1，－1)．

(2)F(x)＝f(x)－g(x)＝loga(x＋2)－1－x－1，

∵函數(shù)F(x)的圖象過點，

∴F(2)＝，即loga4－1－2－1＝，

∴a＝2.

∴F(x)＝log2(x＋2)－x－1－1.

∴函數(shù)F(x)在(1,2)上是增函數(shù)．

又∵F(1)＝log23－2＜0，F(2)＝＞0，

∴函數(shù)F(x)在(1,2)上有零點，

故函數(shù)F(x)在(1,2)上有唯一零點．