Question

設函數f（x）=

3

2

cosx+

1

2

sinx+1
（1）求函數f（x）的值域和函數的單調遞增區(qū)間；
（2）當f（a）=

9

5

，且

π

6

＜α＜

2π

3

時，求sin（2α+

2π

3

）的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）根據三角函數的關系式，即可求求函數f（x）的值域和函數的單調遞增區(qū)間．
（2）根據三角函數的誘導公式即可得到結論．

解答： 解：（1）依題意f（x）=

3

2

cosx+

1

2

sinx+1=sin（x+

π

3

）+1，
∵-1≤sin（x+

π

3

）≤1，則∵0≤sin（x+

π

3

）+1≤2，
函數f（x）的值域是[0，2]，
令-

π

2

+2kπ≤x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得-

5π

6

+2kπ≤x≤

π

6

+2kπ，k∈Z，
所以函數f（x）的單調增區(qū)間為[-

5π

6

+2kπ，

π

6

+2kπ]，k∈Z．
（2）由f（a）=sin（α+

π

3

）+1=

9

5

，得sin（α+

π

3

）=

4

5

，
∵

π

6

＜α＜

2π

3

，∴

π

2

＜α+

π

3

＜π時，得cos（α+

π

3

）=-

3

5

，
∴sin（2α+

2π

3

）=sin2（α+

π

3

）=2sin（α+

π

3

）cos（α+

π

3

）=-2×

4

5

×

3

5

=-

24

25

．

點評：本題主要考查三角函數的圖象和性質以及三角函數求值，考查學生的運算能力，利用三角函數的誘導公式進行化簡即可得到結論．