Question

設(shè)f₀（x）=sinx，f₁（x）=f₀′（x），f₂（x）=f₁′（x）…f_n+1（x）=f_n′（x），x∈N^*  則f₂₀₁₅（

π

3

）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：由題意對(duì)函數(shù)的變化規(guī)律進(jìn)行探究，發(fā)現(xiàn)呈周期性的變化，且其周期是4，即可得到結(jié)論．

解答： 解：由題意f₀（x）=sinx，
f₁（x）=f₀′（x）=cosx，
f₂（x）=f₁′（x）=-sinx，
f₃（x）=f₂′（x）=-cosx，
f₄（x）=f₃′（x）=sinx，
由此可知，在逐次求導(dǎo)的過(guò)程中，所得的函數(shù)呈周期性變化，從0開(kāi)始計(jì)，周期是4，
∵2015=4×503+3，
故f₂₀₁₅（x）=f₃（x）=-cosx
∴f₂₀₁₅（

π

3

）=-cos

π

3

=-

1

2

故答案為：-

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的周期性，探究過(guò)程中用的是歸納推理，對(duì)其前幾項(xiàng)進(jìn)行研究得出規(guī)律，求解本題的關(guān)鍵一是要?dú)w納推理的意識(shí)，一是對(duì)正、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法公式熟練掌握．