Question

10．已知數(shù)列{a_n}是遞增等比數(shù)列，且a₁，a₃是方程x²-10x+16=0的兩根．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列b_n=2log₂a_n-1，記數(shù)列$\{\frac{2}{{{b_n}{b_{n+1}}}}\}$的前n項和為S_n，求使S_n＞$\frac{5}{6}$成立的最小正整數(shù)n的值．

Answer 1

分析 （1）由x²-10x+16=0，解得x=2，8，可得a₁，a₃，再利用等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）數(shù)列b_n=2log₂a_n-1=2n-1，可得$\frac{2}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，再利用“裂項求和”、不等式的性質(zhì)、數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）由x²-10x+16=0，解得x=2，8．
∵a₁，a₃是方程x²-10x+16=0的兩根，且a₁＜a₃．
∴a₁=2，a₃=8．
設等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，則8=2q²，解得q=2．
∴${a}_{n}={2}^{n}$．
（2）數(shù)列b_n=2log₂a_n-1=2n-1，
∴$\frac{2}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，
∴數(shù)列的前n項和為S_n=$（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=1-$\frac{1}{2n+1}$．
由使S_n＞$\frac{5}{6}$，可得$1-\frac{1}{2n+1}$$＞\frac{5}{6}$，化為2n+1＞6，解得$n＞\frac{5}{2}$，其最小正整數(shù)n=3．
∴使S_n＞$\frac{5}{6}$成立的最小正整數(shù)n的值為3．

點評 本題考查了遞推式的應用、等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”、不等式的性質(zhì)、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．