Question

已知向量=（2，0），O是坐標原點，動點 M 滿足：|+|+|-|=6．
（1）求點 M 的軌跡 C 的方程；
（2）是否存在直線 l 過 D（0，2）與軌跡 C 交于 P、Q 兩點，且以 PQ 為直徑的圓過原點，若存在，求出直線 l 的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè) B（-2，0），則|+|+|-|=|+|+|-|=||+||=6，所以M 的軌跡為以 A、B 為焦點，長軸長為6的橢圓，由此能求出M的軌跡C的方程．
（2）設(shè)直線 l 的方程為 y=kx+2，由 得（1+9k²） x²+36kx+27=0，再由根的判別式和韋達定理進行求解．
解答：解：（1）設(shè) B（-2，0）…（1分）
則|+|+|-|=|+|+|-|=||+||=6
∴M 的軌跡為以 A、B 為焦點，長軸長為 6 的橢圓
由c=2，2a=6⇒a=3⇒b=1              …（5分）
∴M 的軌跡 C的方程為 +y²=1           …（6分）
（2）設(shè)直線 l 的方程為 y=kx+2（k≠0且k存在），…（7分）
由 得x²+9 （kx+2）²=9，
即 （1+9k²） x²+36kx+27=0         …（8分）
∴△=（36k）²-4×27 （1+9k²）＞0
即 9k²-3＞0，∴k＜-或k＞  （*）…（9分）
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=-，x₁x₂=                …（10分）
∵以 PQ 為直徑的圓過原點，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0
∴（1+k²） x₁ x₂+2k （x₁+x₂）+4=0
即  -+4=0
解得k=±滿足 （*）
∴滿足條件的直線 l 存在，
且直線 l 的方程為：x-3y+6=0或 x+3y-6=0  …（12分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．