Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，橢圓的離心率為

1

2

，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形面積為4

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)右焦點(diǎn)F₂作斜率為K的直線L與橢圓C交M、N兩點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)P（0，m）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）e=

1

2

，ab=2

3

，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)l：y=k（x-1），聯(lián)立

y=k(x-1) x2 4 + y2  3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出m的取值范圍．

解答： （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）橢圓的離心率為e=

c

a

=

1

2

，
又∵連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形面積為4

3

，
∴ab=2

3

，
解得a=2，b=

3

，c=1，
∴所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（6分）
（Ⅱ）∵橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1，∴F₂（1，0），
設(shè)l：y=k（x-1），
聯(lián)立

y=k(x-1) x2 4 + y2  3 =1

，整理得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
△=64k⁴-4（3+4k²）（4k²-12）＞0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x1+x2=

8k2

3+4k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2），

PM

+

PN

=（x₁，y₁-m）+（x₂，y₂-m）=（x₁+x₂，y₁+y₂-2m），
由于菱形對(duì)角線垂直，則(

PM

+

PN

)•

MN

=0，
得（x₁+x₂）•1+（y₁+y₂-2m）•k=0，
當(dāng)k=0時(shí)，上式恒成立．又P、M、N三點(diǎn)不共線，
所以m∈R，且m≠0，
當(dāng)k≠0時(shí)，由上式可得m=

k

3+4k2

，
解得-

3

12

≤m≤

3

12

，且m≠0．
故存在滿足題意的P，當(dāng)k=0時(shí)，m∈R且m≠0．
當(dāng)k≠0時(shí)，m的取值范圍是-

3

12

≤m≤

3

12

，且m≠0．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用．