已知橢圓的四個頂點恰好是一邊長為2，一內(nèi)角為的菱形的四個頂點.
（I）求橢圓的方程；
（II）直線與橢圓交于，兩點，且線段的垂直平分線經(jīng)過點，求（為原點）面積的最大值.
(I)  ； (II)  ．

試題分析：(I)由圖形的對稱性及橢圓的幾何性質(zhì)，易得 ，進而寫出方程； (II) ΔAOB的面積可以用 ，所以本題需要用弦長公式表示AB的長度，用點到之間的距離公式表示坐標原點O到直線的距離，而這些都需要有直線的方程作為前提條件。所以本題應先考慮設出直線AB的方程．此外，設方程的過程中，注意對于特殊情形的討論．
試題解析：
(I)因為橢圓的四個頂點恰好是一邊長為2，
一內(nèi)角為的菱形的四個頂點,
所以,橢圓的方程為                                     4分
(II)設因為的垂直平分線通過點， 顯然直線有斜率，
當直線的斜率為時,則的垂直平分線為軸,則
所以
因為，
所以，當且僅當時，取得最大值為       7分
當直線的斜率不為時,則設的方程為
所以，代入得到
當,            即                         
方程有兩個不同的解
又，                                       8分
所以，
又，化簡得到                     
代入，得到                                                    10分
又原點到直線的距離為

所以
化簡得到                                             12分        
因為，所以當時，即時，取得最大值
綜上，面積的最大值為．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知左焦點為的橢圓過點．過點分別作斜率為的橢圓的動弦，設分別為線段的中點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若為線段的中點，求；
（3）若，求證直線恒過定點，并求出定點坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知分別是橢圓的左、右頂點，點在橢圓上，且直線與直線的斜率之積為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，已知是橢圓上不同于頂點的兩點，直線與交于點，直線與交于點．① 求證：；② 若弦過橢圓的右焦點，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓C： 的左、右焦點分別為，離心率為，點A是橢圓上任一點，的周長為.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點任作一動直線l交橢圓C于兩點，記，若在線段上取一點R，使得，則當直線l轉(zhuǎn)動時，點R在某一定直線上運動，求該定直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知、是橢圓的左、右焦點，且離心率，點為橢圓上的一個動點，的內(nèi)切圓面積的最大值為.
(1) 求橢圓的方程；
(2) 若是橢圓上不重合的四個點，滿足向量與共線，與共
線，且，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1、F2，上頂點為A，△AF1F2為正三角形，且以線段F1F2為直徑的圓與直線相切.
（Ⅰ）求橢圓C的方程和離心率e；
（Ⅱ）若點P為焦點F1關于直線的對稱點，動點M滿足. 問是否存在一個定點T，使得動點M到定點T的距離為定值？若存在，求出定點T的坐標及此定值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，已知過橢圓的左頂點作直線交軸于點，交橢圓于點，若是等腰三角形，且，則橢圓的離心率為         .

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，短軸長為，離心率為.
(I)求橢圓的方程;
(II) 為橢圓上滿足的面積為的任意兩點，為線段的中點，射線交橢圓與點，設，求實數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

中心在坐標原點，焦點在軸上的橢圓的離心率為，且經(jīng)過點。若分別過橢圓的左右焦點、的動直線、相交于P點，與橢圓分別交于A、B與C、D不同四點，直線OA、OB、OC、OD的斜率、、、滿足．

（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在定點M、N，使得為定值．若存在，求出M、N點坐標；若不存在，說明理由．

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