Question

已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓G與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于B、D兩點(diǎn)，且A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0），四邊形ABCD的面積為4．
（1）求橢圓G的方程；
（2）過(guò)x軸上一點(diǎn)M（1，0）作一條不垂直于y軸的直線l，交橢圓G于E、F點(diǎn)，是否存在直線l，使得△AEF的面積為

7

，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由A（-2，0），知AC=4，由題設(shè)知四邊形ABCD為菱形，且其面積S=

1

2

×AC×BD=4，故BD=2，所以橢圓G是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且且a=2，b=1，由此能求出橢圓G的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為x=my+1，由

x=my+1 x2 4 +y2=1

，得（m²+4）y²+2my-3=0，△=4m²+12（m²+4）＞0，設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則y1+y2=-

2m

m2+4

，y1y2=-

3

m2+4

，由此能推導(dǎo)出不存在直線l，使得△AEF的面積為

7

．

解答：解：（1）∵A（-2，0），∴AC=4，
由題設(shè)知四邊形ABCD為菱形，且其面積S=

1

2

×AC×BD=4，
∴BD=2，
∴橢圓G是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且a=2，b=1，
∴橢圓G的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）∵直線l不垂直于y軸，∴設(shè)直線l的方程為x=my+1，
由

x=my+1 x2 4 +y2=1

，得（m²+4）y²+2my-3=0，
△=4m²+12（m²+4）＞0，
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則y1+y2=-

2m

m2+4

，y1y2=-

3

m2+4

，
x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2=

8

m2+4

，
x1x2=m2y1y2+m(y1+y2)+1=

4-4m2

m2+4

，
設(shè)△AEF的面積為S，則S=

1

2

|AM|×||y1-y2|，
故S2=

9

4

((y1-y2)2=

9

4

[

4m2

(m2+4)2

+

12

m2+4

]
=9×

4m2+16-4

(m2+4)2

=9×(

4

m2+4

-

4

(m2+4)2

)，
令

1

m2+4

=t，則t∈(0，

1

4

]，
則S2=36(t-t2)≤

27

4

＜7，故S≠

7

，
所以不存在直線l，使得△AEF的面積為

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法和判斷是否存在直線方程，使得三角形的面積為定值．綜合性強(qiáng)，難度大，具有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意計(jì)算能力和解題能力的培養(yǎng)．