Question

17．根據(jù)條件求拋物線的標準方程．
（1）拋物線的頂點在原點，以坐標軸為對稱軸，且焦點在直線x+y+2=0上；
（2）拋物線的頂點在原點，焦點是圓x²十y²-4x=0的圓心．

Answer 1

分析 （1）求出已知直線與坐標軸的交點A和B，在焦點分別為A和B的情況下設(shè)出拋物線標準方程，對照拋物線焦點坐標的公式求待定系數(shù)，即可得到相應拋物線的方程．
（2）拋物線頂點在原點，圓x²十y²-4x=0的圓心是拋物線的焦點，故先求咄圓心，再求拋物線的方程即可．

解答 解：（1）直線x+y+2=0交x軸于點A（-2，0），與y軸交于點B（0，-2）；
①當拋物線的焦點在A點時，設(shè)方程為y²=-2px，（p＞0），可得2p=8，
∴拋物線方程為y²=-8x；
②當拋物線的焦點在B點時，設(shè)方程為x²=-2p'y，（p'＞0），可得2p'=8，
∴拋物線方程為x²=-8y
綜上所述，得此拋物線方程為y²=-8x或x²=8y；
（2）由圓的方程x²十y²-4x=0，即（x-2）²+y²=4可知，圓心為F（2，0），
半徑為2，又由拋物線焦點為已知圓的圓心，得到拋物線焦點為F（2，0），
拋物線方程為y²=8x．

點評 本題給出拋物線的焦點坐標，求它的標準方程，著重考查了拋物線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．