Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，垂足為A，PA=AB，點M在棱PD上，PB∥平面ACM．
（1）試確定點M的位置；
（2）計算直線PB與平面MAC的距離；
（3）設(shè)點E在棱PC上，當(dāng)點E在何處時，使得AE⊥平面PBD？

Answer 1

分析：（1）設(shè)AC∩BD=O，則O這BD的中點，設(shè)點M為PD中點，在△PBD中，PB∥OM，由此能夠確定M的位置使PB∥平面ACM．
（2）設(shè)AB=1，則PA=AB=1，由底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，知CD⊥PD，AM=

2

2

，AC=

2

，MC=

6

2

，故S△MAC=

3

4

，利用等積法能夠求出直線PB與平面MAC的距離．
（3）以A為原點，AB、AD、AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能夠求出當(dāng)點E為PC中點時，AE⊥平面PBD．

解答：解：（1）設(shè)AC∩BD=O，則O這BD的中點，
設(shè)點M為PD中點，
∵在△PBD中，PB∥OM，
OM?平面ACM，
∴PB∥平面ACM．
故當(dāng)點M為PD中點時，PB∥平面ACM．
（2）設(shè)AB=1，則PA=AB=1，
∵底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，
∴CD⊥PD，∴AM=

2

2

，AC=

2

，MC=

6

2

，
∴AM²+MC²=AC²，
∴S△MAC=

3

4

，
取AD的中點F，連接AF，
則MF∥PA，MF⊥平面ABCD，且MF=

1

2

，
∵PB∥平面ACM，M為PC的中點，
∴直線PB與平面MAC的距離為點D到平面MCA的距離，設(shè)為h，
∵V_M-ACD=V_D-ACM，
∴

1

3

×

3

4

×h=

1

3

×

1

2

×1×

1

2

，
解得h=

3

3

．
（3）以A為原點，AB、AD、AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1），C（1，1，0），
∴

PB

=(1，0，-1)，

PD

=（0，1，-1），
設(shè)平面PBD的法向量

n

=（x，y，z），則

n

•

PB

=0，

n

•

PD

=0，
∴

x-z=0 y-z=0

，∴

n

=(1，1，1)，
設(shè)

PE

=λ

PC

，
則E（λ，λ，1-λ），
∵AE⊥平面PBD，
∴

AE

∥

n

，∴λ=

1

2

，∴E為PC中點．
故當(dāng)點E為PC中點時，AE⊥平面PBD．

點評：本題考查滿足條件的點的位置的確定，考查直線到平面的距離的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等積法和向量法的合理運(yùn)用．