Question

已知函數(shù) (R)．

(1)  當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí), 取得極大值為;

當(dāng)時(shí), 取得極小值為.

（2）a的取值范圍是

解析:

（1）當(dāng)時(shí)，，

∴. 

       令=0, 得 . 

當(dāng)時(shí),, 則在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),, 則在上單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),, 在上單調(diào)遞增. 

∴ 當(dāng)時(shí), 取得極大值為;

當(dāng)時(shí), 取得極小值為.

（2） ∵ = ，

∴△= =  .

① 若a≥1，則△≤0， 

∴≥0在R上恒成立，

∴ f（x）在R上單調(diào)遞增 . 

∵f（0），, 

∴當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)． 

② 若a＜1，則△＞0，

∴= 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)為x₁，x₂，（x₁<x₂）．

∴x₁+x₂ = 2，x₁x₂ = a．  

當(dāng)變化時(shí)，的取值情況如下表：                       

x		x1	（x1，x2）	x2
	+	0	－	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∵,∴.

∴

       

       

        .

同理.

∴

.

          令f（x₁）·f（x₂）＞0,  解得a＞． 

          而當(dāng)時(shí),,

          故當(dāng)時(shí), 函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn).     

綜上所述，a的取值范圍是．