直線y=x+1與雙曲線C：-=1(b＞0)恒有公共點(diǎn).

(1)求雙曲線C的離心率e的取值范圍；

(2)若直線l:y=x+m(m∈R)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F，與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，并且滿足=，求雙曲線C的方程.

解：(1)把y=x+1代入雙曲線-=1，得b2x2-2(x+1)2-2b2=0.

    整理得(b2-2)x2-4x-2(1+b2)=0.

    當(dāng)b2=2時，直線與雙曲線有一個交點(diǎn)，這時e=2.

    當(dāng)b2≠2時，直線與雙曲線恒有公共點(diǎn)Δ=16+8(b2-2)(1+b2)≥0恒成立,即b4-b2≥0恒成立.

    ∵b2＞0,∴b2≥1.

    ∴e2==≥.

    ∴e≥.

    綜上所述e的取值范圍為［,+∞).

    (2)設(shè)F(c,0)，則直線l的方程為y=x-c.

    把y=x-c代入雙曲線-=1，

    得b2(y+c)2-2y2-2b2=0.

    整理得(b2-2)y2+2cb2y+b2c2-2b2=0.

    設(shè)兩交點(diǎn)為P(x1,y1)、Q(x2,y2),

    則y1+y2=,y1y2=.

    ∵=,

    ∴y1=y2.

    ∴6y1=,5y12=.

    ∴=.

    ∵b2＞0,c2-2=b2,

    ∴=.

    ∴b2=7.

    ∴所求雙曲線C的方程為-=1.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩條漸近線與以點(diǎn)A (0，)為圓心，1為半徑的圓相切，又知C的一個焦點(diǎn)與A關(guān)于y = x對稱．

    （1）求雙曲線C的方程；

    （2）若Q是雙曲線線C上的任一點(diǎn)，F1，F2為雙曲線C的左、右兩個焦點(diǎn)，從F1引∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為N，試求點(diǎn)N的軌跡方程；

    （3）設(shè)直線y = mx + 1與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn)，另一直線l經(jīng)過M (–2，0)及AB的中點(diǎn)，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍．

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