已知函數(shù)f(x)的定義域為R,且f(x)不為常函數(shù),有以下命題:
①函數(shù)g(x)=f(x)+f(-x)一定是偶函數(shù);
②若對任意x∈R都有f(x)+f(2-x)=0,則f(x)是以2為周期的周期函數(shù);
③若f(x)是奇函數(shù),且對任意x∈R都有f(x)+f(2+x)=0,則f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱;
④對任意x1,x2∈R且x1≠x2,若
f(x1)-f(x2)
x1-x2
>0
恒成立,則f(x)為(-∞,+∞)上的增函數(shù).
其中正確命題的序號是______.
①∵g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x)
∴函數(shù)g(x)=f(x)+f(-x)一定是偶函數(shù),故①正確;
②若對任意x∈R都有f(x)+f(2-x)=0,∴f(x)=-f(2-x),∴f(x+2)=-f(-x),f(x)不是以2為周期的周期函數(shù),故②錯誤;
③∵對任意x∈R都有f(x)+f(2+x)=0,∴f(2+x)=-f(x)
∵f(x)是奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x)
∴f(2+x)=f(-x)
∴f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱;
④設(shè)任意x1,x2∈R且x1<x2,∴x1-x2<0,
f(x1)-f(x2)
x1-x2
>0

∴f(x1)-f(x2)<0
∴f(x1)<f(x2
∴函數(shù)f(x)為(-∞,+∞)上的增函數(shù).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1,y1),N(x2,y2)
是f(x)圖象上的兩點,橫坐標(biāo)為
1
2
的點P滿足2
OP
=
OM
+
ON
(O為坐標(biāo)原點).
(Ⅰ)求證:y1+y2為定值;
(Ⅱ)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*,且n≥2,求Sn;
(Ⅲ)已知an=
1
6
,                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
,其中n∈N*,Tn為數(shù)列{an}的前n項和,若Tn<m(Sn+1+1)對一切n∈N*都成立,試求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列說法正確的有( 。﹤.
①已知函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),若f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增,則對任意的?x∈(a,b),有f′(x)>0.
②函數(shù)f(x)圖象在點P處的切線存在,則函數(shù)f(x)在點P處的導(dǎo)數(shù)存在;反之若函數(shù)f(x)在點P處的導(dǎo)數(shù)存在,則函數(shù)f(x)圖象在點P處的切線存在.
③因為3>2,所以3+i>2+i,其中i為虛數(shù)單位.
④定積分定義可以分為:分割、近似代替、求和、取極限四步,對求和In=
n
i=1
f(ξi)△x
中ξi的選取是任意的,且In僅于n有關(guān).
⑤已知2i-3是方程2x2+px+q=0的一個根,則實數(shù)p,q的值分別是12,26.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sin(2x-
π
6
),g(x)=sin(2x+
π
3
),直線y=m與兩個相鄰函數(shù)的交點為A,B,若m變化時,AB的長度是一個定值,則AB的值是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=x3-x,其圖象記為曲線C.
(i)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(ii)證明:若對于任意非零實數(shù)x1,曲線C與其在點P1(x1,f(x1))處的切線交于另一點P2(x2,f(x2)),曲線C與其在點P2(x2,f(x2))處的切線交于另一點P3(x3,f(x3)),線段P1P2,P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S1,S2.則
S1S2
為定值;
(Ⅱ)對于一般的三次函數(shù)g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),請給出類似于(Ⅰ)(ii)的正確命題,并予以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-ax+b存在極值點.
(1)求a的取值范圍;
(2)過曲線y=f(x)外的點P(1,0)作曲線y=f(x)的切線,所作切線恰有兩條,切點分別為A、B.
(。┳C明:a=b;
(ⅱ)請問△PAB的面積是否為定值?若是,求此定值;若不是求出面積的取值范圍.

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同步練習(xí)冊答案