已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：對任意的，存在唯一的，使；
（3）設(shè)（2）中所確定的關(guān)于的函數(shù)為，證明：當(dāng)時，有.

（1）減區(qū)間是，增區(qū)間是；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

解析試題分析：（1）先確定函數(shù)的定義域，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）構(gòu)造函數(shù)
，利用函數(shù)的單調(diào)性與零點存在定理來證明題中結(jié)論；（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論得到
，利用換元法令得到，于是將問題轉(zhuǎn)化為且，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來證明在區(qū)間上恒成立即可.
試題解析：（1）函數(shù)的定義域為，
，令，得，
當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：











極小值

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；
（2）當(dāng)時，.設(shè)，令，，
由（1）知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
，，
故存在唯一的，使得成立；
（3），由（2）知，，且
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，其中為實數(shù).
(1)當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；
(2)若對一切的實數(shù)，有恒成立，其中為的導(dǎo)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

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已知某工廠生產(chǎn)件產(chǎn)品的成本為（元），
問：（1）要使平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？
（2）若產(chǎn)品以每件500元售出，要使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？

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若存在過點的直線與曲線和都相切，求的值

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已知函數(shù)(,為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)若曲線在點處的切線平行于軸,求的值;
(2)求函數(shù)的極值;
(3)當(dāng)的值時,若直線與曲線沒有公共點,求的最大值.

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已知函數(shù)，（其中常數(shù)）
（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；
（2）若存在實數(shù)使得不等式成立，求的取值范圍.

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已知函數(shù).
⑴求函數(shù)在處的切線方程；
⑵當(dāng)時，求證：；
⑶若，且對任意恒成立，求k的最大值.

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已知函數(shù)，（其中為常數(shù)）．
（1）如果函數(shù)和有相同的極值點，求的值；
（2）設(shè)，問是否存在，使得，若存在，請求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（3）記函數(shù)，若函數(shù)有5個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍．

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已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)時，函數(shù)圖像上的點都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實數(shù)的取值范圍．

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