Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點F₁、F₂與短軸一端點的連線互相垂直，M為橢圓上任一點，且△MF₁F₂的面積最大值為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)圓A：x²+y²=r²（r＞0）的切線l與橢圓C交于P、Q兩點，且

OP

•

OQ

=0，求半徑r的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)焦點F₁、F₂與短軸一端點的連線互相垂直，△MF₁F₂的面積最大值為1，可建立方程組，即可求得橢圓方程；
（2）l斜率不存在時，l方程為x=±r，求出P、Q的坐標，利用OP⊥OQ，可求半徑r的值；l斜率存在時，設(shè)l方程為y=kx+m則可得m²=r²（1+k²），聯(lián)立l與橢圓方程

y=kx+m x2 2 +y2=1

，利用OP⊥OQ及韋達定理可求半徑r的值．

解答：解：（1）橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1中，由題意可知

b=c bc=1

，∴b=c=1，∴a=

2

∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1…（6分）
（2）l斜率不存在時，l方程為x=±r，此時P(±r，

1- r2 2

)、Q(±r，-

1- r2 2

)
∵OP⊥OQ，∴r2=

2

3

…（8分）
l斜率存在時，設(shè)l方程為y=kx+m則  

|m|

1+k2

=r即  m²=r²（1+k²）
設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），聯(lián)立l與橢圓方程

y=kx+m x2 2 +y2=1

，消元可得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0…（10分）
∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
∵OP⊥OQ，∴x1x2+y1y2=(1+k2)

2m2-2

1+2k2

+km•(

-4km

1+2k2

)+m2=

3m2-2(1+k2)

1+2k2

=0
∵m²=r²（1+k²），∴3r²（1+k²）-2（1+k²）=0
∴r2=

2

3

綜上所述r=

6

3

…（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查圓的切線，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理解題．