Question

如圖，在四棱錐P-ABCO中，底面四邊形OABC是直角梯形，∠AOC=90°，AB∥OC，PO⊥平面OABC，且|OC|=3a，|PO|=|AO|=|AB|=a．
（1）求證：AO⊥平面POC；
（2）求異面直線PA與BC所成角的大�。�

Answer 1

分析：（1）欲證AO⊥平面POC，只需證明AO垂直于平面POC中的兩條相交直線．利用線面垂直的性質(zhì)，以及直角，可證AO分別垂直于PO，CO，而PO，CO都在平面POC 上，就可證出AO⊥平面POC．
（2）欲求異面直線PA與BC所成角的大小，只需平移兩條直線中的一條，使它們成為相交直線，則相交直線所成角即為異面直線所成角，再把角放入三角形中，通過(guò)解三角形，求出該角．

解答：解：（1）∵PO⊥面OABC，∴PO⊥AO∵∠AOC=90°，∴CO⊥AO
∴AO⊥面POC
（2）作AD∥BC交OC于D，連PD，則∠PAD是PA與BC所成的角，
易知DC=AB=a，OD=OC-DC=2a，
在Rt△POA，Rt△POD，Rt△AOP中分別得PA=

2

a，PD=

5

a，AD=

5

a，

在△PAD中，cos∠PAD=

PA2+AD2-PD2

2PA•AD

=

10

10

∴∠PAD=arccos

10

10

是所求角的大小．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及異面直線所成角的計(jì)算．