Question

如圖，已知三棱柱BCF-ADE的側(cè)面CFED與ABFE都是邊長為1的正方形，M、N兩點分別在AF和CE上，且AM=EN．
（1）求證：平面ABCD⊥平面ADE；
（2）求證：MN∥平面BCF；
（3）若點N為EC的中點，點P為EF上的動點，試求PA+PN的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）四邊形CFED與ABFE都是正方形，利用線面垂直可得EF⊥平面ADE，再根據(jù)EF∥AB，得出AB⊥平面ADE，最后利用面面垂直的判定得出結(jié)論；
（2）證法一：過點M作MM₁⊥BF交BF于M₁，過點N作NN₁⊥CF交BF于N₁，連結(jié)M₁N₁，先證得四邊形MNN₁M₁為平行四邊形，得MN∥N₁M₁，再根據(jù)線面平行的判定得到MN∥面BCF．
法二：過點M作MG⊥EF交EF于G，連結(jié)NG，得出平面MNG∥平面BCF，最后利用面面平行的性質(zhì)得出MN∥面BCF；
（3）將平面EFCD繞EF旋轉(zhuǎn)到與ABFE在同一平面內(nèi)，則當點A、P、N在同一直線上時，PA+PN最小．通過解△AEN，利用余弦定理求出AN即可．
解答：解：（1）∵四邊形CFED與ABFE都是正方形
∴EF⊥DE，EF⊥AE，又DE∩EA=E，∴EF⊥平面ADE，---------------（2分）
又∵EF∥AB，∴AB⊥平面ADE
∵AB?平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADE-------------------------（4分）
（2）證法一：過點M作MM₁⊥BF交BF于M₁，
過點N作NN₁⊥CF交BF于N₁，連結(jié)M₁N₁，------------（5分）
∵MM₁∥AB，NN₁∥EF∴MM₁∥NN₁
又∵，
∴MM₁=NN₁--------------------------------（7分）
∴四邊形MNN₁M₁為平行四邊形，----------------------（8分）
∴MN∥N₁M₁，又MN?面BCF，N₁M₁?面BCF，∴MN∥面BCF．-（10分）
[法二：過點M作MG⊥EF交EF于G，連結(jié)NG，則，∴NG∥CF-------------（6分）
又NG?面BCF，CF?面BCF，∴NG∥面BCF，------------（7分）
同理可證得MG∥面BCF，又MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCF--------（9分）
∵MN?平面MNG，∴MN∥面BCF．--------------------------------------------（10分）]
（3）如圖將平面EFCD繞EF旋轉(zhuǎn)到與ABFE在同一平面內(nèi)，則當點
A、P、N在同一直線上時，PA+PN最小，------------------------------------（11分）
在△AEN中，∵
由余弦定理得AN²=AE²+EN²-2AE•ENcos135°，------（13分）
∴，
即．-----------------------（14分）
點評：本小題考查空間中的線面關(guān)系及面面關(guān)系，點、線、面間的距離計算、解三角形等基礎(chǔ)知識考查空間想象能力和思維能力．