Question

16．已知球O的半徑為R，A，B，C三點在球O的球面上，球心O到平面ABC的距離為$\frac{1}{2}R$，AB=AC=2，∠BAC=120°，則球O的表面積為$\frac{64}{3}π$．

Answer 1

分析 利用余弦定理求出BC的長，進而由正弦定理求出平面ABC截球所得圓的半徑，結合球心距，求出球的半徑，代入球的表面積公式，可得答案．

解答 解：在△ABC中，
∵AB=AC=2，∠BAC=120°，
∴BC=$\sqrt{4+4-2×2×2×（-\frac{1}{2}）}$=2$\sqrt{3}$，
由正弦定理可得平面ABC截球所得圓的半徑（即△ABC的外接圓半徑），
r=$\frac{2\sqrt{3}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
又∵球心到平面ABC的距離d=$\frac{1}{2}$R，
∴球O的半徑R=$\sqrt{4+\frac{1}{4}{R}^{2}}$，
∴R²=$\frac{16}{3}$，
故球O的表面積S=4πR²=$\frac{64}{3}π$，
故答案為$\frac{64}{3}π$．

點評 本題考查的知識點是球的體積和表面積，其中根據(jù)已知條件求出球的半徑是解答本題的關鍵．