Question

討論直線l∶y＝kx＋1與雙曲線C∶x²－y²＝1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

答案：
解析：

解：聯(lián)立直線與雙曲線的方程消去y，得(1－k2)x2－2kx－2＝0． 　　當(dāng)k＝±l時(shí)，x＝±1； 　　當(dāng)k≠±1時(shí)，△＝4k2＋8(1－k2)＝8－4k2．由△＞0得－＜k＜；△＝0得k＝±；△＜0得k＞或k＜－． 　　故當(dāng)k∈(－∞，－)∪(，＋∞)時(shí)，l與C相離，沒(méi)有公共點(diǎn)； 　　當(dāng)k＝±時(shí)，l與C相切于一點(diǎn)； 　　當(dāng)k＝±1時(shí)，l與C相交于一點(diǎn)； 　　當(dāng)k∈(－，－1)∪(－1，1)∪(1，)時(shí)，l與C相交于兩點(diǎn)． 　　分析：直線與圓錐曲線有無(wú)公共點(diǎn)的問(wèn)題，實(shí)際上就是相應(yīng)方程組有無(wú)實(shí)數(shù)解的問(wèn)題． 　　點(diǎn)評(píng)：該題討論了過(guò)定點(diǎn)(0，1)的直線系與等軸雙曲線C的位置關(guān)系．分類討論要層次分明，不重不漏．本題首先根據(jù)關(guān)于x的方程的二次項(xiàng)系數(shù)是否為零分兩大類，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)非零時(shí)，又按判別式△分成三種情況．在下結(jié)論時(shí)，是根據(jù)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)分成三類的．同樣是兩個(gè)交點(diǎn)，但兩個(gè)交點(diǎn)分別在雙曲線的左、右支上或在一支上k的范圍不同，大家畫圖驗(yàn)證一下，非常有益．