Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA與平面ABCD所成的角為60°，在四邊形ABCD中，∠D=∠DAB=90°，AB=4，CD=1，AD=2．
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出點(diǎn)B，P的坐標(biāo)；
（2）求異面直線PA與BC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DP分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，求出點(diǎn)B，P的坐標(biāo)即可；
（2）先求異面直線PA與BC所在向量的坐標(biāo)，再根據(jù)向量的夾角公式求出所成角．

解答：解：（1）如圖所示，以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DP分別為x，y，z軸的正方向，
建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．
∵∠D=∠DAB=90°，AB=4，CD=1，AD=2，
∴A（2，0，0），C（0，1，0），B（2，4，0），
由PD⊥平面ABCD，得∠PAD為PA與平面ABCD所成的角，
∴∠PAD=60°．
在Rt△PAD中，由AD=2，得PD=2

3

，
∴P（0，0，2

3

）．
（2）∵=（2，0，-2

3

），
=（-2，-3，0），
∴cos＜PA，BC＞=

2×(-2)+0×(-3)+(-2 3 )×0

4 13

=-

13

13

，
所以PA與BC所成角的余弦值為

13

13

點(diǎn)評：本小題主要考查異面直線所成的角、平面與平面垂直、坐標(biāo)運(yùn)算等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，運(yùn)算能力和推理論證能力．