Question

已知函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）及數(shù)列{a_n}．
使得2，f（a₁），f（a₂），…，f（a₁），2n+4構(gòu)成等差數(shù)列（n=1，2，…）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，當0＜a＜1時，求；
（Ⅲ）若b_n=a_n•f（a_n），當a＞1時，試比較b_n與b_n+1的大�。�

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
∵f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），
2，f（a₁），f（a₂），…，f（a₁），2n+4構(gòu)成等差數(shù)列（n=1，2，…）．
∴2n+4=2+[（n+2）-1]•d，
∴d=2…（2分）
故f（a_n）=2+[（n+1）-1]×2=2n+2…（4分）
即f（a_n）=log_aa_n=2n+2
∴a_n=a²ⁿ⁺²（a＞0且 a≠1）…（6分）
（Ⅱ）∵a≠1
∴…（8分）
∵，
∴0＜a＜1，
∴．…（10分）
（Ⅲ）∵b_n=a_nf（a_n）=a²ⁿ⁺²（2n+2）＞0
因為a＞1且，
∴…（13分）
故b_n+1＞b_n…（16分）
分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則2n+4=2+[（n+2）-1]•d，故d=2，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由a≠1，知，由，能求出求．
（Ⅲ）由b_n=a_nf（a_n）=a²ⁿ⁺²（2n+2）＞0，知，由此能夠推導(dǎo)出b_n+1＞b_n．
點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，數(shù)列極限的求法和數(shù)列單調(diào)性的判斷．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．