Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₃=20，S₃=36，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n，及其前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）求證：

1

S1-1

+

1

S2-1

+…+

1

Sn-1

＜

1

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，由已知列方程組求出首項(xiàng)和公差，直接代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式；
（Ⅱ）把前n項(xiàng)和代入后利用裂項(xiàng)相消法對(duì)不等式的左邊求和，然后放縮證明不等式．

解答：（Ⅰ）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，
由a₃=20，S₃=36，得

a1+2d=20 3a1+3d=36

，解得

a1=4 d=8

．
∴a_n=4+8（n-1）=8n-4
Sn=4n+

8n(n-1)

2

=4n2．
（Ⅱ）證明：∵

1

Sn-1

=

1

4n2-1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴

1

S1-1

+

1

S2-1

+…+

1

Sn-1

=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+…+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和，考查了列項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，是中檔題．