Question

△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊分別為a、b、c，己知A=

π

6

，c=

3

，b=1，
（1）求a的長(zhǎng)及B的大小：
（2）若0＜x＜B，求函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2

2

cos²x-

3

的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用余弦定理列出關(guān)系式，將b，c及cosA的值代入求出a的值，得到a=b，利用等邊對(duì)等角得到A=B，即可求出B的度數(shù)；
（2）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，根據(jù)x的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域即可確定出f（x）的值域．

解答： 解：（1）∵△ABC中，A=

π

6

，c=

3

，b=1，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=1+3-2

3

×

3

2

=1，即a=1，
∴a=b=1，
∴B=A=

π

6

；
（2）f（x）=2sinxcosx+2

2

cos²x-

3

=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

），
∵0＜x＜

π

6

，得到

π

3

＜2x+

π

3

＜

2π

3

，
∴

3

2

＜sin（2x+

π

3

）≤1，即

3

＜2sin（2x+

π

3

）≤2，
則函數(shù)的值域?yàn)椋?span id="55rvj57" class="MathJye">

3

，2]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的值域，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．