已知函數(shù)f（x）=ax3-
3
2
（a+2）x2+6x-3．
（1）當(dāng)a＞2時(shí)，求函數(shù)f（x）的極小值；
（2）當(dāng)a＜2時(shí)，試討論方程f（x）=0根的個(gè)數(shù)．
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，并分解因式，畫(huà)表求出單調(diào)區(qū)間和極值，求出a＞2的極小值；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，顯然f（x）=-3x2+6x-3只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a≠0時(shí)，f′（x）=3a（x-
2
a
）（x-1），分別討論a＜0，0＜a＜2，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
解答： 解：f′（x）=3ax2-3（a+2）x+6=3（ax-2）（x-1），
（1）當(dāng)a＞2時(shí)，0＜
2
a
＜1
（-∞，
2
a
）
2
a
（
2
a
，1）		1（1，+∞）
f′（x）+0-0+
f（x）增極大值減極小值增
∴f極小值=f（1）=-
a
2
；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，顯然f（x）=-3x2+6x-3只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a≠0時(shí)，f′（x）=3a（x-
2
a
）（x-1）
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（-∞，
2
a
），（1，+∞）遞減；在（
2
a
，1）遞增，f（1）＞0，f（
2
a
）＜0
則f（x）有三個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f（x）在（-∞，1），（
2
a
，+∞）遞增；在（1，
2
a
）遞減，f（1）＜0，f（
2
a
）＜0
則f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述：當(dāng)0≤a＜2時(shí)，f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）有三個(gè)零點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的運(yùn)用，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極值，函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知cosα=
1
3
，且-
π
2
＜α＜0，求
sin(2π+α)
tan(-α-π)cos(-α)•tanα
的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax+blnx+c（a，b，c是常數(shù)）在x=e處的切線方程為（e-1）x+ey-e=0，x=1既是函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)，又是它的極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求常數(shù)a，b，c的值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=x2+mf（x）（m∈R）在區(qū)間（1，3）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）求函數(shù)h（x）=f（x）-1的單調(diào)遞減區(qū)間，并證明：
ln2
2
×
ln3
3
×
ln4
4
×…×
ln2014
2014
＜
1
2014
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（2x+
π
6
）+m
（1）寫(xiě)出函數(shù)f（x）的最小正周期及對(duì)稱中心坐標(biāo)；
（2）若x∈[-
π
6
，
π
3
]時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為2，求函數(shù)f（x）的最大值，并指出此時(shí)x的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=
1
2
ax2+bx（a≠0）．
（1）若a=-2時(shí)，函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求b的取值范圍；
（2）若a=2，b=1，若函數(shù)y=g（x）-2f（x）-x2-k在[1，3]上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

一個(gè)袋子中裝有大小相同的2個(gè)紅球和4個(gè)白球．
（Ⅰ）若每次不放回地從袋中任取一個(gè)球（共取兩次），求第一次取到白球且第二次取到紅球的概率；
（Ⅱ）若從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球，求至少取出一個(gè)紅球的概率；
（Ⅲ）若從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球，求取出紅球個(gè)數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，若f（1）=0，f′（1）=0，但x=1不是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，則abc=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

F1、F2分別是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，M，N分別為其短釉的兩個(gè)端點(diǎn)，且四邊形MF1NF2的周長(zhǎng)為4設(shè)過(guò)F1的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=
4
3
，則|AF2|•|BF2|的最大值為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

平行四邊形ABCD中，若|
AB
|=4，且
2
AB
|
AB
|
+
3
AD
|
AD
|
=
4
AC
|
AC
|
，則
AB
•
AD
=
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案