【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓截直線所得的線段的長度為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓交于兩點，點是橢圓上的點，是坐標原點，若，判定四邊形的面積是否為定值？若為定值，求出定值；如果不是，請說明理由.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)橢圓截直線所得的線段的長度為，可得橢圓過點 ，結(jié)合離心率即可求得橢圓方程；

（Ⅱ）分類討論：當直線的斜率不存在時，四邊形的面積為 ； 當直線的斜率存在時，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，由 得 ，代入曲線C，整理出k，m的等量關(guān)系式，再根據(jù) 寫出面積的表達式整理即可得到定值。

(Ⅰ)由解得

得橢圓的方程為.

（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，直線的方程為或，

此時四邊形的面積為．

當直線的斜率存在時，設(shè)直線方程是，聯(lián)立橢圓方程

，

點到直線的距離是

由得

因為點在曲線上，所以有

整理得

由題意四邊形為平行四邊形，所以四邊形的面積為

由得, 故四邊形的面積是定值，其定值為．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓經(jīng)過點，右焦點到直線的距離為3．

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）過點A作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于M，N兩點，求證：直線MN恒過定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）當時，求函數(shù)在處的切線方程；

（2）記函數(shù)的導函數(shù)是，若不等式對任意的實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)，是函數(shù)的導函數(shù)，若函數(shù)存在兩個極值點，，且，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2018年雙11當天，某購物平臺的銷售業(yè)績高達2135億人民幣．與此同時，相關(guān)管理部門推出了針對電商的商品和服務(wù)的評價體系，現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對其評價進行統(tǒng)計，對商品的好評率為0.9，對服務(wù)的好評率為0.75，其中對商品和服務(wù)都做出好評的交易為140次．

（1）請完成下表，并判斷是否可以在犯錯誤概率不超過0.5％的前提下，認為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)？

對服務(wù)好評

對服務(wù)不滿意

合計

對商品好評

140

對商品不滿意

10

合計

200

（2）若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的3次購物中，設(shè)對商品和服務(wù)全好評的次數(shù)為X．

①求隨機變量X的分布列；

②求X的數(shù)學期望和方差．

附：，其中n＝a＋b＋c＋d．

P（K2≥k）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為線段的中點．

（1）若為線段上的動點，證明：平面平面；

（2）若為線段，，上的動點（不含，），，三棱錐的體積是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，，是的中點．

（1）求證：；

（2）若，為線段上一點，且，求二面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知曲線上任意一點滿足，直線的方程為，且與曲線交于不同兩點，.

（1）求曲線的方程；

（2）設(shè)點，直線與的斜率分別為，，且，判斷直線是否過定點？若過定點，求該定點的坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，該幾何體是由一個直三棱柱ABE﹣DCF和一個四棱錐P﹣ABCD組合而成，其中EF＝EA＝EB＝2，AE⊥EB，PA＝PD，平面PAD∥平面EBCF．

（1）證明：平面PBC∥平面AEFD；

（2）求直線AP與平面PCD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，點分別是和的中點.

（1）證明：平面；

（2）設(shè)，當為何值時，平面，試證明你的結(jié)論.

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