【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓截直線所得的線段的長度為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，判定四邊形的面積是否為定值？若為定值，求出定值；如果不是，請(qǐng)說明理由.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)橢圓截直線所得的線段的長度為，可得橢圓過點(diǎn) ，結(jié)合離心率即可求得橢圓方程；

（Ⅱ）分類討論：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，四邊形的面積為 ； 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，由 得 ，代入曲線C，整理出k，m的等量關(guān)系式，再根據(jù) 寫出面積的表達(dá)式整理即可得到定值。

(Ⅰ)由解得

得橢圓的方程為.

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為或，

此時(shí)四邊形的面積為．

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程是，聯(lián)立橢圓方程

，

點(diǎn)到直線的距離是

由得

因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以有

整理得

由題意四邊形為平行四邊形，所以四邊形的面積為

由得, 故四邊形的面積是定值，其定值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，右焦點(diǎn)到直線的距離為3．

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于M，N兩點(diǎn)，求證：直線MN恒過定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；

（2）記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，若不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2018年雙11當(dāng)天，某購物平臺(tái)的銷售業(yè)績高達(dá)2135億人民幣．與此同時(shí)，相關(guān)管理部門推出了針對(duì)電商的商品和服務(wù)的評(píng)價(jià)體系，現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，對(duì)商品的好評(píng)率為0.9，對(duì)服務(wù)的好評(píng)率為0.75，其中對(duì)商品和服務(wù)都做出好評(píng)的交易為140次．

（1）請(qǐng)完成下表，并判斷是否可以在犯錯(cuò)誤概率不超過0.5％的前提下，認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)？

對(duì)服務(wù)好評(píng)

對(duì)服務(wù)不滿意

合計(jì)

對(duì)商品好評(píng)

140

對(duì)商品不滿意

10

合計(jì)

200

（2）若將頻率視為概率，某人在該購物平臺(tái)上進(jìn)行的3次購物中，設(shè)對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)為X．

①求隨機(jī)變量X的分布列；

②求X的數(shù)學(xué)期望和方差．

附：，其中n＝a＋b＋c＋d．

P（K2≥k）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為線段的中點(diǎn)．

（1）若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，證明：平面平面；

（2）若為線段，，上的動(dòng)點(diǎn)（不含，），，三棱錐的體積是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，，是的中點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）若，為線段上一點(diǎn)，且，求二面角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知曲線上任意一點(diǎn)滿足，直線的方程為，且與曲線交于不同兩點(diǎn)，.

（1）求曲線的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，直線與的斜率分別為，，且，判斷直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，該幾何體是由一個(gè)直三棱柱ABE﹣DCF和一個(gè)四棱錐P﹣ABCD組合而成，其中EF＝EA＝EB＝2，AE⊥EB，PA＝PD，平面PAD∥平面EBCF．

（1）證明：平面PBC∥平面AEFD；

（2）求直線AP與平面PCD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，點(diǎn)分別是和的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）設(shè)，當(dāng)為何值時(shí)，平面，試證明你的結(jié)論.

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