Question

設函數(shù)．

（1）當時，求曲線在處的切線方程；

（2）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；

（3）在（2）的條件下，設函數(shù)，若對于[1，2]，[0，1]，使成立，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）在處的切線方程為；（2）函數(shù)的單調增區(qū)間為;單調減區(qū)間為；（3）.

【解析】

試題分析：（1）首先求函數(shù)的定義域，利用導數(shù)的幾何意義求得在處的切線的斜率，再利用直線的點斜式方程求得在處的切線方程；（2）分別解不等式可得函數(shù)的單調遞增區(qū)間、單調遞減區(qū)間；（3）由已知“對于[1，2]，使≥成立”在上的最小值不大于在上的最小值，先分別求函數(shù)，的最小值，最后解不等式得實數(shù)的取值范圍．

試題解析：函數(shù)的定義域為，                       1分

     　                             2分

（1）當時，，，        3分

，

，                                            4分

在處的切線方程為.                     5分

(2).                 

當,或時, ;                              6分

當時, .                                         7分

當時，函數(shù)的單調增區(qū)間為;單調減區(qū)間為.   8分

(如果把單調減區(qū)間寫為,該步驟不得分)

（3）當時，由（2）可知函數(shù)在上為增函數(shù)，

∴函數(shù)在[1，2]上的最小值為                  9分

若對于[1，2]，使     ≥成立在上的最小值不大于在[1，2]上的最小值（*）                         10分

又，

當時，在上為增函數(shù)，

與（*）矛盾                      11分

當時，，由及

得，                                             12分

③當時，在上為減函數(shù)，

及得.                                                 13分

綜上，的取值范圍是                               14分

考點：1、導數(shù)的幾何意義；2、應用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間；3、應用導數(shù)解決含參數(shù)不等式的參數(shù)取值范圍問題．