Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=1，∠ACB=90°，AA₁=

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，D 是A₁B₁中點．
（1）求證C₁D⊥平面AA₁B₁B；
（2）當點F在BB₁上什么位置時，會使得AB₁⊥平面C₁DF？并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）欲證C₁D⊥平面AA₁B₁B，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證C₁D與平面AA₁B₁B內兩相交直線垂直，而ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
則∠A₁C₁B₁=90°，從而C₁D⊥A₁B₁，AA₁⊥C₁D，滿足定理所需條件；
（2）作DE⊥AB₁交AB₁于E，延長DE交BB₁于F，連接C₁F，則AB₁⊥平面C₁DF，點FB₁B的中點即為所求，根據C₁D⊥平面AA₁BB，AB₁?平面AA₁B₁B，則C₁D⊥AB₁，AB₁⊥DF，DF∩C₁D=D，滿足線面垂直的判定定理，則AB₁⊥平面C₁DF．

解答：（1）證明：∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴A₁C₁=B₁C₁=1，且∠A₁C₁B₁=90°．
又D是A₁B₁的中點，∴C₁D⊥A₁B₁．
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，C₁D?平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥C₁D，∴C₁D⊥平面AA₁B₁B．
（2）解：作DE⊥AB₁交AB₁于E，延長DE交BB₁于F，連接C₁F，則AB₁⊥平面C₁DF，點F即為所求．
事實上，∵C₁D⊥平面AA₁B₁B，AB₁?平面AA₁B₁B，
∴C₁D⊥AB₁．又AB₁⊥DF，DF∩C₁D=D，
∴AB₁⊥平面C₁DF．
四邊形AA₁B₁B為正方形，此時點F為B₁B的中點．

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定．應熟練記憶直線與平面垂直的判定定理，屬于中檔題．