【題目】已知數(shù)列是首項的等差數(shù)列,設(shè).
(1)求證:是等比數(shù)列;
(2)記,求數(shù)列的前項和;
(3)在(2)的條件下,記,若對任意正整數(shù),不等式恒成立,求整數(shù)的最大值.
【答案】(1)證明見解析.
(2) .
(3)11.
【解析】分析:(1)運用等差數(shù)列的通項公式,可得公差,進(jìn)而得到,再由對數(shù)的運算性質(zhì)和等比數(shù)列的定義,即可得證;
(2) 利用裂項相消法求和即可;
(3)根據(jù)題意,求得,設(shè),判斷其為單調(diào)遞增,求得最小值,再由恒成立思想可得的范圍,進(jìn)而得到最大值.
詳解:(1)由及,得,所以.
因為,所以,即.
則,所以數(shù)列是首項,公比的等比數(shù)列.
(2)由(1),得,所以
(3)因為,
則問題轉(zhuǎn)化為對任意正整數(shù)使不等式恒成立.
設(shè),則
.
所以,故的最小值是/.
由,得整數(shù)可取最大值為11.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐,底面為矩形,平面,為的中點.
(1)證明:平面;
(2)設(shè)二面角為60°,,,求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】在中,,分別為,的中點,,如圖1.以為折痕將折起,使點到達(dá)點的位置,如圖2.
如圖1 如圖2
(1)證明:平面平面;
(2)若平面平面,求直線與平面所成角的正弦值。
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【題目】為了解某品種一批樹苗生長情況,在該批樹苗中隨機抽取了容量為120的樣本,測量樹苗高度(單位:,經(jīng)統(tǒng)計,其高度均在區(qū)間,內(nèi),將其按,,,,,,,,,,,分成6組,制成如圖所示的頻率分布直方圖.其中高度為及以上的樹苗為優(yōu)質(zhì)樹苗.
(1)求圖中的值,并估計這批樹苗的平均高度(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(2)已知所抽取的這120棵樹苗來自于,兩個試驗區(qū),部分?jǐn)?shù)據(jù)如下列聯(lián)表:
試驗區(qū) | 試驗區(qū) | 合計 | |
優(yōu)質(zhì)樹苗 | 20 | ||
非優(yōu)質(zhì)樹苗 | 60 | ||
合計 |
將列聯(lián)表補充完整,并判斷是否有的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)樹苗與,兩個試驗區(qū)有關(guān)系,并說明理由.
下面的臨界值表僅供參考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:,其中.
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【題目】已知函數(shù).
(1) 如果,求函數(shù)的值域;
(2) 求函數(shù)=的最大值;
(3) 如果對不等式中的任意,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=,an+1=Sn+(n∈N*,t為常數(shù)).
(Ⅰ)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,求t的值;
(Ⅱ)若t>﹣4,bn=lgan+1,數(shù)列{bn}前n項和為Tn,當(dāng)且僅當(dāng)n=6時Tn取最小值,求實數(shù)t的取值范圍.
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【題目】已知點,過點作與軸平行的直線,點為動點在直線上的投影,且滿足.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)已知點為曲線上的一點,且曲線在點處的切線為,若與直線相交于點,試探究在軸上是否存在點,使得以為直徑的圓恒過點?若存在,求出點的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
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【題目】已知以點C(t∈R,t≠0)為圓心的圓與x軸交于點O和點A,與y軸交于點O和點B,其中O為原點.
(1)求證:△OAB的面積為定值;
(2)設(shè)直線y=-2x+4與圓C交于點M,N,若OM=ON,求圓C的方程.
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