Question

【題目】已知函數(shù)，，其中．

（Ⅰ）若函數(shù)在區(qū)間（1，e）存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；　

（Ⅱ）若對(duì)任意的，都有≥成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ），求導(dǎo)可得的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可求解。

（Ⅱ）任意的，都有≥成立，等價(jià)于對(duì)任意的都

有≥．分別求出和即可求解。

（Ⅰ）解：，其定義域?yàn)?/span>，

∵＜0，∴在區(qū)間（0，）上單調(diào)遞減．

要使函數(shù)在區(qū)間（1，e）內(nèi)存在零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，）．　　　

（Ⅱ）解：對(duì)任意的都有≥成立等價(jià)于對(duì)任意的都

有≥．

當(dāng) ［1，］時(shí)，．∴函數(shù)在上是增函數(shù)．

∴．

∵，．

∴當(dāng)時(shí)，＜0，當(dāng)時(shí)，＞0，

∴在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，）單調(diào)遞增．

① 當(dāng)時(shí)，∴函數(shù)在［1，］上是增函數(shù)，∴．

由≥，得≥，又，∴ ，不合題意．

② 當(dāng)1≤≤時(shí)，∴函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

∴．

由≥，得≥，又1≤≤，∴≤≤．

③ 當(dāng)，∴函數(shù)在上是減函數(shù)．∴.

由≥，得≥，又，∴．

綜上所述，的取值范圍為．